BMA2 - Sbírka

d) dostanete R 1

y dy =

R

1

x

(x+1) dx. Použijte rozklad na parciální zlomky.

Výsledek: y = x

x

+1 (C + x + ln |x|);

e) y = (1 + x2)(C + x);

f) dostanete C(x) = R esin x sin x cos x dx. Použijte nejdřív substituci a potom
per partes. Výsledek: y = Ce− sin x + sin x − 1.

Příklad 2.3.7. Najděte řešení y(x) počáteční úlohy

a) y′ cos x − y sin x = 2x, y (0) = 0

b) y′ = 6y − 4e

6x cos 5x + 24, y

π

2

= −4

c) y′ −

y

x

+ 1

= x − 1, y(0) = 0

d) y′ =

y

x

− 5

+ 5x − 25, y(6) = 14

Řešení:

a) y = x

2

cos x ;

b) y = 4

5 −

4
5 sin 5x − 4e

−6x e6x

;

c) y = (x + 1) (x − 2 ln |x + 1|) ;

d) y = (5x − 16)(x − 5) = 5x2 − 41x + 80.

Příklad 2.3.8. Řešte následující rovnice prvního řádu

a) y′ − y tg x =

1

cos3 x

b) xy′ + y = y2

c) y′x ln x − y = 3 x

3 ln2 x

d) y′ = x2 − x

2y

Řešení:

a) lineární, řešení: y =

tg x + K

cos x

;

b) separovatelná, řešení: y =

1

1−Kx a

y

= 0;

c) lineární, řešení: y = (x3 + K) ln x;

d) lineární a také separovatelná, řešení: y = 1 + K e−

x3

3

.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

23

STUDIJNÍ JEDNOTKA

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU

Cíle studijní jednotky.

Naučíte se řešit diferenciální rovnice vyššího řádu s konstant-

ními koeficienty. Nejdřív to budou homogenní rovnice, které se budou řešit pomoci cha-
rakteristické rovnice. Nehomogenní rovnice budeme řešit pouze v případě, je-li funkce
na pravé straně ve speciálním tvaru. Budete využívat diferenciální počet funkce jedné
proměnné a vzorec na řešení kvadratické rovnice.

3

Diferenciální rovnice vyššího řádu