BMA2 - Sbírka

y

= yh + Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 2 x2 − 8 x.

c) Vyřešíme homogenní rovnici y′′ + 2y′ − 3y = 0. Charakteristická rovnice
je λ2 + 2λ −3 = 0 a její kořeny jsou λ1 = 1, λ2 = −3 a yh = C1 ex +C2 e−3x.
Pravá strana je tvaru

f

(x) = (4x − 3)e

x = ex P1(x).

Zde α = 1 je jednonásobný kořen charakteristické rovnice, a proto k = 1.
Obecný polynom prvního stupně je Ax + B, a partikulární řešení bude mít
tvar

Y

= ex x1 (Ax + B) = ex(Ax2 + Bx)

a musí splňovat rovnici Y ′′ + 2Y ′ − 3Y = (4x − 3) ex.
Musíme Y dvakrát derivovat (jako součin): Y = ex(Ax2 + Bx),

Y ′

= ex(Ax2 + Bx) + ex(2Ax + B) = ex(Ax2 + Bx + 2Ax + B),

Y ′′

= ex(Ax2 + Bx + 2Ax + B) + ex(2Ax + B + 2A) =

= ex(Ax2 + Bx + 2Ax + B + 2Ax + B + 2A) = ex(Ax2 + Bx + 4Ax + 2B + 2A),
a po dosazení

ex

(Ax2 +Bx+4Ax+2B +2A)+2ex(Ax2 +Bx+2Ax+B)−3ex(A x2 +Bx) =

= (4x − 3)ex.
Rovnici nejdřív vydělíme ex a dostaneme

Ax2

+ Bx + 4Ax + 2B + 2A + 2Ax2 + 2Bx + 4Ax + 2B − 3Ax2 − 3Bx = 4x − 3.

Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin.

x2

:

A

+ 2A − 3A = 0

x1

:

B

+ 4A + 2B + 4A − 3B = 4

x0

:

2B + 2A + 2B = −3

Dostali jsme soustavu 8A = 4,

2A + 4B = −3. Potom A = 1

2 ,

B

= −1.

Partikulární řešení je Y = ex

 x2

2 −

x

.

Potom obecné řešení bude

y

= yh + Y = C1 ex + C2 e−3x + ex

 x2

2 −

x

.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

29

d) Vyřešíme homogenní rovnici 3y′′ − 2y′ = 0. Charakteristická rovnice je
3λ2 − 2λ = 0 a její kořeny jsou λ1 = 0, λ2 = 2