BMA2 - Sbírka

3

a yh = C1 + C2 e

2
3 x

.

Pravá strana je tvaru

f

(x) = 10 cos 2x = e0x (10 cos 2x + 0 sin 2x).

Zde α + iβ = 0 + 2i není kořen charakteristické rovnice, a proto k = 0.
Partikulární řešení bude mít tvar

Y

= e0x x0 (A cos 2x + B sin 2x) = A cos 2x + B sin 2x

a musí splňovat rovnici 3Y ′′ − 2Y ′ = 10 cos 2x. Musíme Y dvakrát derivovat:
Y ′

= −2A sin 2x + 2B cos 2x,

Y ′′

= −4A cos 2x − 4B sin 2x. Dosadíme

3(−4A cos 2x − 4B sin 2x) − 2(−2A sin 2x + 2B cos 2x) = 10 cos 2x,
−12A cos 2x − 12B sin 2x + 4A sin 2x − 4B cos 2x = 10 cos 2x.
Aby rovnice platila, musí se rovnat koeficienty při cos 2x a sin 2x na obou
stranách:
cos 2x :

−12A − 4B = 10

sin 2x :

−12B + 4A = 0

Zase jsme dostali soustavu rovnic: −12A − 4B = 10, A − 3B = 0.

Odtud A = −3

4 ,

B

= −1

4 . Partikulární řešení je Y = −

3
4

cos 2x −

1
4

sin 2x,

Obecné řešení nehomogenní rovnice bude

y

= yh + Y = C1 + C2 e

2
3 x

−

3
4

cos 2x −

1
4

sin 2x.

Příklad 3.2.2. Najděte partikulární řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu se
speciální pravou stranou

a

) y′′ + 2y′ + y = 2x − 1, y(0) = 3, y′(0) = −4

b

) y′′ + y = 8 sin x,

y

(0) = 1, y′(0) = −3

Řešení: a) Vyřešíme homogenní rovnici y′′+2y′+1 = 0. Máme λ2+2λ+1 = 0.
Kořeny charakteristické rovnice jsou λ1 = λ2 = −1 a yh = C1 e−x +C2 x e−x.
Pravá strana je tvaru

f

(x) = 2x − 1 = e

0x (2x − 1) = e0x P1(x).

Zde α = 0 není kořen charakteristické rovnice, a proto k = 0. Potom