BMA2 - Sbírka

Goniometrický tvar komplexního čísla

— komplexní číslo zapsané ve tvaru

z

= |z|(cos ϕ + j sin ϕ),

kde |z| je absolutní hodnota komplexního čísla a ϕ je argument čísla z.

Eulerův tvar komplexního čísla

— komplexní číslo zapsané ve tvaru

z

= |z| e

j ϕ,

kde |z| a ϕ mají stejný význam jako u goniometrického tvaru.

Pro a + j b a c + j d libovolná komplexní čísla se definuje sčítání a násobení takto:

(a + j b) + (c + j d) = (a + c) + j (b + d),

(a + j b) · (c + j d) = (ac − bd) + j (ad + bc).

Při dělení komplexních čísel se využívá komplexně sdružené číslo jmenovatele:

a

+ j b

c

+ j d

=

a

+ j b

c

+ j d ·

c

− j d

c

− j d

=

ac

+ bd

c2

+ d2

+ j

bc

− ad

c2

+ d2

;

a

+ j b, c + j d ∈ C; c + j d 6= 0.

Komplexní čísla se zjednodušují podle pravidel (k ∈ Z):

j 2 = −1, j

3 = −j , j 4 = 1, j 5 = j , . . . , j 4k = 1, j 4k+1 = j , j 4k+2 = −1, j 4k+3 = −j .

Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

uv

= |u| · |v|(cos (α + β) + j sin (α + β));

u

v

= |

u

|

|v|

(cos (α − β) + j sin (α − β)),

kde u = |u|(cos α + j sin α) a v = |v|(cos β + j sin β) jsou dvě nenulová komplexní čísla.
Pro umocňování platí Moivreova věta:

z

n = (|z|(cos ϕ + j sin ϕ))n = |z|

n(cos nϕ + j sin nϕ), n ∈ N.

Příklad 4.1.1. Vypočítejte komplexní číslo

a

) z = (2 + j )(5 + j )

b

) z = j + j 3 + j 15 + j 29

c

) z =

1 + 2j
3 − 4j

Řešení: a) (2 + j )(5 + j ) = 10 + 5j + 2j − 1 = (10 − 1) + j (5 + 2) = 9 + 7j ;