BMA2 - Sbírka

2

.

Podobně sin2 ϕ =

1 − cos 2ϕ

2

.

38

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

4.3

Derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy
podmínky

Analogicky jako u funkcí reálné proměnné se definuje limita komplexní funkce w = f(z)
v bodě z0 a derivace f′(z0), jako

f ′

(z0) = lim

z

→z0

f

(z) − f(z0)

z

− z0

.

Pro komplexní funkci platí stejná pravidla pro derivování součtu, rozdílu, součinu a podílu
jako pro reálné funkce. Stejně tak platí i pravidlo pro derivování složené funkce.
Jestliže f′(z0) existuje, říkáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě z0.
Jestliže f′ existuje v bodě z0 a v nějakém jeho okolí, nazývá se funkce f analytická
nebo také holomorfní v z0.
Funkce f(x + j y) = u(x, y) + j v(x, y) je holomorfní v bodě z0, právě když v nějakém
okolí tohoto bodu splňuje tzv. Cauchy-Riemannovy podmínky:

∂u
∂x

=

∂v
∂y

,

∂u
∂y

= −

∂v

∂x

.

Příklad 4.3.1. Zjistěte z Cauchy-Riemannových podmínek, na které oblasti jsou násle-
dující funkce holomorfní, a na této oblasti spočítejte jejích derivace

a

) f(z) = ez

b

) f(z) =

1
z

c

) f(z) = Im z

d

) f(z) = |z|

e

) f(z) = z2

Řešení: a) Nejdřív musíme určit reálnou a imaginární část funkce.

f

(x + j y) = ex+j y = exej y = ex(cos y + j sin y) = ex cos y + j ex sin y. Potom

u

(x, y) = ex cos y

a

v

(x, y) = ex sin y.

Rovnice

∂u
∂x

= ex cos y =

∂v
∂y

,

∂u
∂y

= ex(− sin y) = −

∂v

∂x

platí na celém C.

Funkce f(z) = ez je holomorfní pro všechna z ∈ C a f′(z) = ez.

b) f(x + j y) =

1

x

+ j y

=

x

− j y

x2

+ y2

=

x

x2

+ y2 −

j

y

x2

+ y2

.

Potom

u

(x, y) =

x

x2

+ y2

a v(x, y) = −

y

x2

+ y2

.

∂u
∂x

=

x2

+ y2 − x2x

(x2 + y2)2