BMA2 - Sbírka

= x + y − 3 a f(0) = −3j .

Řešení:

∂v
∂y

= 1 =

∂u
∂x

.

Z toho u = R 1 dx = x + C(y). Potom

∂u
∂y

= C′(y).

Na druhé straně

∂u
∂y

= −

∂v

∂x

= −1. Dostali jsme rovnost C′(y) = −1.

Pak C(y) = − R 1 dy = −y + K. Po dosazení u = x − y + K,

f

(x + j y) = x − y + K + j (x + y − 3) ,

f

(z) = z + j z − 3j + K.

Musí platit, že f(0) = 0 + j 0 − 3j + K = −3j . Potom K = 0.
Hledaná funkce je f(z) = z + j z − 3j .

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

41

Příklad 4.3.6. Najděte holomorfní funkci f(z), která má při z =x+j y reálnou část

a) u = 6xy + 3x2y − y

3

a f(0) = 5j

b) u = x2 − 2xy a f(0) = 0

Řešení:

a) f(z) = −j z3 − 3j z2 + 5j ;

b) taková funkce neexistuje.

Příklad 4.3.7. Najděte holomorfní funkci f(z), která má při z =x+j y imaginární část

a) v = 9x3y − 9xy

3 + 5x a f(0) = 6

b) v = 7xy3 − 7x

3y − 8x a f(0) = 3

Řešení:
a) f(z) = 9

4 x

4 − 27

2 x

2y2

+ 9

4 y

4 − 5y + 6 + j (9x3y − 9xy3 + 5x) = 9

4 z

4

+ 5j z + 6;

b) f(z) = −7

4 x

4

+ 21

2 x

2y2− 7

4 y

4

+8y+3+j (7xy3 − 7x3y − 8x) = −7

4 z

4 −8j z+3.

42

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

STUDIJNÍ JEDNOTKA

INTEGRÁL FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

Cíle studijní jednotky.

Naučíte se integrovat komplexní funkci přes křivku v komplexní

rovině tak, že komplexní integrál převedete na výpočet určitého integrálu funkce reálné
proměnné. Budete k tomu potřebovat integrální počet funkce jedné proměnné a také
doporučuji zopakovat si některé části z analytické geometrie, a to popis kružnice, přímky
a úsečky. Naučíte se také Cauchyovu větu a Cauchyův vzorec.