BMA2 - Sbírka

5

Integrál funkce komplexní proměnné

5.1

Integrál komplexní funkce pomocí parametrizace křivky

Nechť je daná Γ : R → C komplexní funkce reálné proměnné

Γ : z(t) = x(t) + j y(t);

t

∈ hα, βi.

kde funkce x(t), y(t) jsou spojité reálné funkce jedné proměnné takové, že jejich derivace
x′

(t), y′(t) jsou po částech spojité. Potom říkáme, že Γ je po částech hladká oriento-

vaná křivka

v komplexní rovině začínající v bodě z(α) a končící v bodě z(β).

Z křivek budeme nejčastěji uvažovat úsečky a kružnice, jejichž parametrické rovnice v
Gaussové rovině jsou tyto:

1. Obecně úsečka o krajních bodech z1, z2 má parametrickou rovnici

z

(t) = z1 + (z2 − z1)t, t ∈ h0, 1i

Speciálním případem jsou úsečky ležící na souřadnicových osách. Nejjednodušší po-
pis úsečky ležící na x-ové ose mezi body z1 = α, z2 = β je z(t) = t, t ∈ hα, βi a

podobně úsečku ležící na y-ové ose mezi body z1 = αj , z2 = βj popisujeme jako
z

(t) = j t, t ∈ hα, βi.

2. Kladně orientovaná kružnice se středem v bodě z0 o poloměru r má parametrickou

rovnici

z

(t) = z0 + r · e

j t,

t

∈ h0, 2πi.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

43

Nechť je w = f(z) komplexní funkce, jednoznačná a spojitá na křivce Γ. Potom integrál
z funkce f po křivce Γ je definován takto:

Z

Γ

f

(z) dz =

Z

β

α

f

(z(t))z′(t) dt.

O integrálu funkce komplexní proměnné platí řada vět analogicky k větám o integrálu
reálných funkcí, zejména tyto:

Z

Γ

(f1(z) + f2(z)) dz =

Z

Γ

f1(z) dz +

Z

Γ

f2(z) dz

Z

Γ

k

· f(z) dz = k

Z

Γ

f

(z) dz

Z

Γ

f

(z) dz =

Z

Γ1

f

(z) dz +

Z

Γ2

f

(z) dz, skládá-li se Γ z křivek Γ1 a Γ2,

Γ1 a Γ2 mají jediný společný bod