BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
Γ
f
(z) dz = −
Z
Γ1
f
(z) dz, značí-li Γ1 opačně orientovanou křivku Γ
Příklad 5.1.1. Vypočtěte integrál
Z
Γ
z
dz, kde Γ je úsečka z bodu -1 do bodu 3.
Řešení:
Parametrická rovnice této úsečky je z(t) = t, t ∈ h−1, 3i.
Z toho vyjádříme z(t) = t a dz = 1 dt.
Z
Γ
z
dz =
Z
3
−1
t
dt =
t2
2
3
−1
=
9
2 −
(−1)2
2
= 4.
Příklad 5.1.2. Vypočtěte
Z
Γ
|z| dz, kde Γ je horní půlkružnice z bodu 1 do bodu -1.
Řešení:
Parametrická rovnice půlkružnice je z(t) = ej t,
t
∈ h0, πi.
Z toho vyjádříme |z(t)| = 1 a dz = j ejt dt.
Z
Γ
|z| dz =
Z
π
0
j ej t dt = j
Z
π
0
ej
t dt = j
ej t
j
π
0
= ej t
π
0 =
ej
π − e
0 =
cos π + j sin π − 1 = −1 + j · 0 − 1 = −2.
Příklad 5.1.3. Vypočtěte
Z
Γ
|z| z dz, kde Γ je horní půlkružnice z bodu -1 do bodu 1.
Řešení:
Parametrická rovnice půlkružnice je z(t) = ej t,
t
= π → t = 0.
Z toho vyjádříme |z(t)| z = e−jt a dz = j ejt dt.
Z
Γ
|z| z dz =
Z
0
π
e−j
tj ej t dt = j
Z
0
π
1 dt = j [t]
0
π = j (0 − π) = −j π.
44
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 5.1.4. Vypočtěte
Z
Γ
Re z dz, kde Γ je horní půlkružnice z bodu 3 do bodu -3.
Řešení:
Parametrická rovnice půlkružnice je z(t) = 3ej t,
t
∈ h0, πi.
Potřebujeme vyjádřit Re z ale z této rovnice půlkružnice to nejde, musíme
použit jiný zápis: z(t) = 3(cos t + j sin t),
t
∈ h0, πi.
Potom Re z = 3 cos t, a dz = (−3 sin t + j 3 cos t) dt, a
Z
Γ
Re z dz =
=
Z
π
0
3 cos t(−3 sin t + j 3 cos t) dt = 9
Z
π
0
(− cos t sin t) dt + 9j
Z
π
0
cos2 t dt.
Nejdřív spočítáme první integral pomocí substituce u = cos t.
Pak du = − sin t dt, a pro t = 0 je u = 1, pro t = π je u = −1.