BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Cauchyova věta.
Jestliže funkce f(z) je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti v níž
leží křivka Γ, potom hodnota integrálu
Z
Γ
f
(z) dz nezávisí na tvaru křivky Γ, pouze na
jejich krajných bodech. V takovém případě
Z
Γ
f
(z) dz = F (z2) − F (z1),
kde z1 je počáteční a z2 koncový bod křivky Γ, a pro funkci F (z) platí, že F ′(z) = f(z).
Pro uzavřenou křivku Γ v této oblasti platí, že
Z
Γ
f
(z) dz = 0.
Cauchyův vzorec.
Jestliže funkce f(z) je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti Ω v
níž leží uzavřená křivka Γ, potom platí
Z
Γ
f
(z)
z
− z0
dz =
*
2πj f(z0), jestliže z0 leží uvnitř Γ,
0,
jestliže z0 leží vně Γ.
Příklad 5.2.1. Vypočtěte následující integrály
a)
Z
Γ
z2
dz,
kde Γ : |z − 3 + 5j | =
1
2 je kladně orientovaná kružnice
b)
Z
Γ
e
z dz, kde Γ je obvod obdélníka s vrcholy z1 = −1, z2 = 1, z3 = 1+j , z4 = −1+j ,
kladně orientovaný
c)
Z
Γ
sin j z dz,
kde Γ je libovolná křivka spojující body 0 a πj
d)
Z
Γ
ez
z
− j
dz,
Γ : |z + j | = 1 je kladně orientovaná kružnice
e)
Z
Γ
z
z
+ 2j
dz,
kde Γ je trojúhelník spojující body 0, 2j a 3 + j
Řešení: a) z2 je holomorfní funkce na množině C, a proto
Z
Γ
z2
dz = 0.
b) ez je holomorfní funkce na množině C, a proto
Z
Γ
e
z dz = 0.
c)
Z
Γ
sin j z dz = −
1
j
[cos j z]
π
j
0
= j (cos(−π) − cos 0) = j (−1 − 1) = −2j .
d)
Z
Γ
ez
z
− j
dz = 0;
e)
Z
Γ
z
z
+ 2j
dz = 0.
48
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 5.2.2. Využitím Cauchyho vzorce vypočtěte následující integrály
a)
Z
Γ
ez
z
− 1
dz,
kde Γ : |z − 1| = 1 je kladně orientovaná kružnice
b)
Z
Γ
z2
+ 2z + 2
z
− 2
dz, kde Γ je daná rovnicí |z| = 3, kladně orientovaná