BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
53
Příklad 6.2.1. Vypočítejte rezidua v pólech funkce f(z) =
1
z3
− z5
.
Řešení:
Funkce f(z) je racionální lomená funkce, takže má za singularity
pouze póly, a to jsou kořeny jmenovatele.
Řešíme rovnici z3 − z5 = 0, z3(1 − z2) = 0, z3(1 − z)(1 + z) = 0. Máme
dva jednoduché kořeny z1 = 1, z2 = −1, a jeden trojnásobný kořen z3 = 0.
Funkce f(z) má v bodech z1 = 1 a z2 = −1 póly prvního řádu a v bodě
z3 = 0 pól třetího řádu.
res
z
=1
f
(z) = lim
z
→1
(z −1)
1
z3
− z5
= lim
z
→1
(z − 1)
z3
(1 − z)(1 + z)
= lim
z
→1
1
−z3(1 + z)
= −
1
2
res
z
=−1
f
(z) = lim
z
→−1
(z + 1)
1
z3
− z5
= lim
z
→−1
(z + 1)
z3
(1 − z)(1 + z)
= −
1
2
,
res
z
=0
f
(z) =
1
2!
lim
z
→0
z3
1
z3
− z5
′′
=
1
2
lim
z
→0
z3
z3
(1 − z2)
′′
=
1
2
lim
z
→0
1
1 − z2
′′
=
=
1
2
lim
z
→0
2z
(1 − z2)2
′
=
1
2
lim
z
→0
2(1 − z2)2 + 2z2(1 − z2)2z
(1 − z2)4
= 1.
Příklad 6.2.2. Vypočítejte rezidua v pólech funkce f(z) =
z2
(1 + z2)2
.
Řešení: Řešíme rovnici (1 + z2)2 = 0,
(z + j )2(z − j )2 = 0.
Funkce f(z) má v bodech z1 = j a z2 = −j póly druhého řádu.
res
z
=j
f
(z) = lim
z
→j
(z − j )
2
z2
(1 + z2)2
′
= lim
z
→j
z2
(z − j )2
(z − j )2)(z + j )2
′
=
= lim
z
→j
z2
(z + j )2
′
= lim
z
→j
2zj
(z + j )3
=
1
4j
= −
j
4
,
res
z
=−j
f
(z) = lim
z
→−j
(z + j )2
z2
(1 + z2)2
′
= lim
z
→−j
−2zj
(z − j )3
= −
1
4j
=
j
4
.
Příklad 6.2.3. Vypočítejte rezidua v pólech funkce f(z) =
1
sin z
.
Řešení: Funkce f(z) =
ϕ
(z)
ψ
(z)
,
kde ϕ(z) = 1 a ψ(z) = sin z jsou holomorfní
funkce na C, funkce ϕ(z) = 1 je nenulová všude a ψ(z) = sin z = 0 v bodech
zk = kπ, k celé. Navíc sin′ z = cos z je v bodech zk nenulové.
Funkce f(z) má tehdy v bodech zk = kπ, k celé, póly prvního řádu a