BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
L{t} =
Z
∞
0
te−
pt dt = lim
A
→∞
Z
A
0
te−
pt dt.
Integrál spočítáme metodou per partes:
u
= t
u′
= 1
v′
= e−pt
v
= −1
p e
−pt
po dosazení
L{t} = lim
A
→∞
Z
A
0
t e−
pt dt = lim
A
→∞
−
t
p
e−
pt
A
0
−
Z
A
0
(−
1
p
) e−pt dt
!
=
= lim
A
→∞
−
A
p
e−
pA +
1
p
Z
A
0
e−
pt dt
= lim
A
→∞
−
A
p epA
+
1
p
−
1
p
e−
pt
A
0
!
=
=
pro Re p > 0 je
lim
A
→∞
A
p epA
= 0
= lim
A
→∞
−
1
p2
(e−pA − 1)
=
1
p2
.
Příklad 7.1.2. Pomoci tabulky určete obraz funkce f(t) = t3 + 3t2 + 2t + 1.
Řešení:
Budeme používat vzorec číslo 2.
L
t3
=
3!
p4
=
6
p4
,
L
t2
=
2!
p3
=
2
p3
,
L{t} =
1
p2
,
L{1} =
1
p
.
Z linearity Laplaceovy transformace dostaneme
L
t3
+ 3t2 + 2t + 1 =
6
p4
+ 3
2
p3
+ 2
1
p2
+
1
p
=
6
p4
+
6
p3
+
2
p2
+
1
p
.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
59
7.2
Zpětná Laplaceova transformace
Přechod od operátorové funkce F (p) ke vzoru f(t) se nazývá zpětná Laplaceova trans-
formace
a značí se symbolem L−1{F (p)}.
Ke každému obrazu je předmět určen jednoznačně. Při hledání předmětu užíváme pak
slovník Laplaceovy transformace nebo použijeme tzv. Heavisideovu větu o rozkladu.
Věta o rozkladu.
Nechť operátorová funkce F (p) má tvar ryze racionální lomené funkce
F
(p) =
M
(p)
N
(p)
,
kde M(p) a N(p) jsou polynomy a stupeň polynomu M(p) je menší než stupeň polynomu
N
(p). Označme pk póly funkce F (p) =
M
(p)
N
(p) . Pak pro zpětnou Laplaceovou transformaci
funkce F (p) platí
f
(t) = L−
1{F (p)} =
X
pk
res
p
=pk
F
(p) ept ,
t >
0
Poznámka.
Jestliže funkce F (p) =
M
(p)
N
(p) s reálními koeficienty má komplexní póly p1,2 =
α
± j β, stačí vypočítat reziduum pouze pro jeden kořen, protože platí:
res
p
=α+j β
F
(p) ept +
res
p
=α−j β
F
(p) ept = 2Re
res
p
=α+j β
F
(p) ept
Příklad 7.2.1. Najděte vzor funkce F (p) =
1
p2
(p − 4)
.
Řešení:
1. Při hledání vzoru pomocí tabulky nejdřív musíme funkci rozložit