BMA2 - Sbírka

2x

+ex(−2x2−4); b) y = e

√

2x

+e−

√

2x −2x2+2x− 5

2 ;

c) y = −4e2x + 7 cos 2x + 3 sin 2x.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

33

STUDIJNÍ JEDNOTKA

FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

Cíle studijní jednotky.

V první části si můžete osvěžit své znalosti o komplexních

číslech, které máte ze střední školy. Ke zvládnutí dalších kapitol je nutné, abyste uměli
pracovat s komplexními čísly a zobrazovat je v komplexní rovině. Dále se seznámíte s
pojmem komplexní funkce a holomorfní funkce, naučíte se tyto funkce derivovat. Předpo-
kládám, že už umíte derivovat funkci jedné reálné proměnné a počítat parciální derivace
funkce více proměnných.

4

Funkce komplexní proměnné

4.1

Komplexní čísla

Komplexní jednotka

— číslo j , pro které platí j 2 = −1, někdy se označuje také jako

i.

Algebraický tvar komplexního čísla

— komplexní číslo zapsané ve tvaru

z

= a + j b,

a, b

∈ R, a = Re z, b = Im z.

Číslo a nazýváme reálnou částí z, číslo b nazýváme imaginární částí z.

Číslo komplexně sdružené

— k číslu z = a + j b je to číslo z = a − j b.

Absolutní hodnota komplexního čísla

— pro z = a + j b je to reálné číslo

|z| =

√

a2

+ b2.

Argument komplexního čísla

— Arg z = ϕ je úhel mezi kladnou x-ovou poloosou a

polopřímkou, spojující bod z s počátkem. Uvažujeme-li pouze ϕ ∈ h0, 2π), píšeme
arg z

= ϕ. Pro argument ϕ komplexního čísla z = a + j b platí

cos ϕ =

a

√

a2

+ b2

,

sin ϕ =

b

√

a2

+ b2

.

34

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Gaussova rovina

— rovina xy, ve které komplexní číslo z = a + j b je znázorněno

bodem [a, b]. Absolutní hodnota čísla z se potom rovná vzdálenosti bodu [a, b] od
počátku. Absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel se rovná jejich vzdále-
nosti v komplexní rovině.