BMA2 - Sbírka

Zde α = 3 není kořen charakteristické rovnice (3 6= ±2), a proto k = 0.

Obecný polynom nultého stupně je konstanta, označíme ji A. Potom partiku-
lární řešení bude mít tvar

Y

= e3x x0 A = A e3x

a musí splňovat rovnici Y ′′ − 4Y = 10 e3x. Musíme Y dvakrát derivovat a
dosadit do rovnice: Y = A e3x,

Y ′

= 3A e3x,

Y ′′

= 9A e3x. Po dosazení

9A e3x − 4A e

3x = 10 e3x.

Rovnici nejdřív vydělíme e3x a dostaneme 9A−4A = 10; 5A = 10; A = 2.
Máme jedno partikulární řešení Y = 2 e3x a obecné řešení nehomogenní
rovnice je

y

= yh + Y = C1 e2x + C2 e−2x + 2 e3x.

b) Vyřešíme homogenní rovnici y′′ + 4y = 0. Charakteristická rovnice je

λ2

+ 4 = 0 a její kořeny jsou λ1,2 = ±2i a yh = C1 cos 2x + C2 sin 2x.

Pravá strana je tvaru

f

(x) = 8x2 − 32x + 4 = e

0x (8x2 − 32x + 4) = e0x P2(x).

Zde α = 0 není kořen charakteristické rovnice (0 6= ±2i), a proto k = 0.

Obecný polynom druhého stupně je Ax2 + Bx + C. Potom partikulární řešení
bude mít tvar

Y

= e0x x0 (Ax2 + Bx + C) = Ax2 + Bx + C

a musí splňovat rovnici Y ′′ +4Y = 8x2 −32x+4. Musíme Y dvakrát derivovat
Y

= Ax2 + Bx + C,

Y ′

= 2Ax + B,

Y ′′

= 2A, a po dosazení

2A + 4Ax2 + 4Bx + 4C = 8x2 − 32x + 4.

Na obou stranách rovnice jsou polynomy druhého stupně. Aby platila rovnost
musí se rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin (odtud pochází také název
metoda neurčitých koeficientů).

x2

:

4A = 8

x1

:

4B = −32

x0

:

2A + 4C = 4

28

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Dostali jsme soustavu rovnic. Po vyřešení máme A = 2, B = −8, C = 0.
Získali jsme jedno partikulární řešení nehomogenní rovnice Y = 2 x2 − 8 x.
Potom obecné řešení nehomogenní rovnice bude