BMA2 - Sbírka

= C′(t) e−

R
L t

− C(t)

R

L

e−

R
L t

.

Po dosazení C′(t) e−

R
L t

=

E

L

,

C′

(t) =

E

L

e

R
L t

,

C

(t) =

E
R

e

R
L t

+ K.

Obecné řešení je tedy I =

 E

R

e

R
L t

+ K

e−

R
L t

= K e−

R
L t

+

E
R

.

Z počáteční podmínky I(0) = 0 dostaneme, že K = −E

R .

Hledaný vzorec pro proud v elektrickém RL obvodu je I =

E
R

1 − e−

R
L t

.

Příklad 2.3.5. Kondenzátor o kapacitě C = 10−3F je zapojen do série s odporem
R

= 200 Ω a nabíjen ze sériově zapojeného zdroje o napětí E = 12 V. Určete napětí

na kondenzátoru jednu sekundu po zapojení zdroje za předpokladu, že v čase t = 0 byl
kondenzátor vybit.

Řešení:

Podle druhého Kirchhoffova zákona závislost proudu I na čase t

vyjadřuje integrální rovnice

1

C

Z

t

0

I

(τ) dτ + RI = E.

Po dosazení vztahu I(t) = dQ

dt do této rovnice dostaneme rovnici pro náboj

na kondenzátoru

R

dQ

dt

+

1

C

Q

= E.

Dosadíme hodnoty za konstanty a dostaneme lineární diferenciální rovnici

Q′

+ 5Q = 0,06.

Obecné řešení této rovnice je Q(t) = K e−5t + 0,012.

Partikulární řešení s počáteční podmínkou Q(0) = 0 je Q(t) = 0,012

1−e−

5t

.

Napětí na kondenzátoru v čase t se rovná EC(t) =

1

C

Q

(t) = 12

1 − e−

5t

.

Z toho

EC(1) = 12(1

− e−

5) = 11,92.

Kondenzátor je během jedné sekundy nabit téměř na maximální hodnotu 12 V.

Příklad 2.3.6. Řešte lineární diferenciální rovnice

a

) y′ +

y
x

= 6x

b

) y′ + y tg x =

1

cos x

c

) y′ + 2xy = xe−x

2

d

) xy′ −

y

x

+ 1

= x

e

) (1 + x2)y′ − 2xy = (1 + x2)2

f

) y′ + y cos x = sin x cos x

22

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Řešení:

a) y = C

x + 2x

2

;

b) y = Ccos x + sin x;

c) y = e−x

2 (x

2

2 + C );