BMA2 - Sbírka

Příklad 2.2.1. Řešte separovatelnou diferenciální rovnici y′ =

1 − 2x

y3

.

Řešení: Postupujeme podle návodu: 1.)

dy
dx

=

1 − 2x

y3

2.) dy =

1 − 2x

y3

dx

3.) y3 dy = (1 − 2x) dx

4.)

Z

y3

dy =

Z

(1 − 2x) dx

Z toho po integrování dostaneme y

4

4 + C = x − x

2

+ K, kde C a K jsou

integrační konstanty. Převedeme-li konstantu C na pravou stranu, dostaneme
řešení ve tvaru y

4

4

= x − x2 + K − C. Označíme konstantu K − C = c a

dostaneme obecné řešení rovnice

y4

4

= x − x

2 + c.

Tuto úpravu s konstantami můžete udělat pokaždé, a proto stačí psát integrační kon-

stantu pouze jednou (obyčejně ji píšeme do pravé strany).

Řešení, která se dostanou při řešení separovatelné rovnice, jsou obvykle v implicitním

tvaru

. Úpravou se někdy podaří získat explicitní tvar řešení y = ϕ(x).

Příklad 2.2.2. Řešte separovatelnou diferenciální rovnici (1 + y2) dx + (1 + x2) dy = 0.

Řešení: Upravíme na (1 + x2) dy = −(1 + y

2) dx a pokračujeme 3. krokem:

1

(1 + y2)

dy = −

1

(1 + x2)

dx;

Z

1

(1 + y2)

dy = −

Z

1

(1 + x2)

dx;

arctg y = −arctg x + C.

Obecné řešení bude arctg x + arctg y = C.

18

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Příklad 2.2.3. Řešte separovatelnou diferenciální rovnici y′ tg x = y.

Řešení: 1.) tg x

dy
dx

= y;

2.) tg x dy = y dx;

3.)

1
y

dy =

cos x

sin x

dx;

4.)

Z

1
y

dy =

Z

cos x

sin x

dx;

Z

1
y

dy =

Z

(sin x)′

sin x

dx.

Po integrování dostaneme

ln |y| = ln | sin x| + c.

Získané řešení upravíme: |y| = eln|sinx|+c = eln|sinx| · ec = ec | sin x|.
Označíme C = ±ec. Obecně takové C 6= 0. Někdy můžeme připustit i C = 0,

jako v tomto příkladě. Můžeme tedy napsat obecné řešení naši rovnice ve tvaru