BMA2 - Sbírka

Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

any

(n) + a

n

−1y

(n−1) + . . . + a1y′ + a0y = f(x)

je součtem obecného řešení homogenní rovnice (budeme ho značit yh) a jednoho partiku-
lárního řešení nehomogenní rovnice (budeme ho značit Y ),

y

= yh + Y.

Metoda, pomocí které se dá určit jedno partikulární řešení Y v případě speciální pravé
strany, se nazývá metoda neurčitých koeficientů. Tvar partikulárního řešení se od-
hadne z tvaru pravé strany diferenciální rovnice:

Pravá strana f(x)

Partikulární řešení Y

f

(x) = eαxPn(x)

Y

= eαxxkQn(x)

kde Pn(x) je polynom

α

je k-násobný kořen char. rovnice

n

-tého stupně

Qn(x) je obecný polynom n-tého stupně

f

(x) = eαx(M cos βx + N sin βx)

Y

= eαxxk(A cos βx + B sin βx)

α

+ iβ je k-násobný kořen char. rovnice

A, B

jsou reálná čísla

Poznámka.

V případě, že α (resp. α + iβ) není kořen charakteristické rovnice, k = 0.

Princip superpozice.

Jestliže funkce na pravé straně je součtem speciálních pravých

stran

f

(x) = f1(x) + . . . + fm(x),

potom i partikulární řešení nehomogenní rovnice bude součtem partikulárních řešení pro
jednotlivé speciální pravé strany,

Y

= Y1 + . . . + Ym.

Příklad 3.2.1. Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu se spe-
ciální pravou stranou

a

) y′′ − 4y = 10 e3x

b

) y′′ + 4y = 8x2 − 32x + 4

c

) y′′ + 2y′ − 3y = (4x − 3) ex

d

) 3y′′ − 2y′ = 10 cos 2x

Řešení:

a) Vyřešíme homogenní rovnici y′′ − 4y = 0. Máme λ2 − 4 = 0.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

27

Kořeny charakteristické rovnice jsou λ1,2 = ±2 a yh = C1 e2x + C2 e−2x.
Pravá strana je tvaru

f

(x) = 10 e3x = e3x P0(x).