BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
y1 = e
αx cos βx, y2 = eαx sin βx.
Obecné řešení pak bude (ve všech třech případech): y = C1 y1 + C2 y2.
V případě rovnic třetího a vyššího řádu k řešením charakteristické rovnice přiřazujeme
fundamentální systém stejným způsobem jako v případě rovnice druhého řádu.
Příklad 3.1.1. Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu
a
) y′′ − y′ − 2y = 0
b
) 4y′′ − 4y′ + y = 0
c
) y′′ + 4y = 0
d
) y′′ − 4y′ + 13y = 0
Řešení:
a) Napíšeme charakteristickou rovnici λ2 − λ − 2 = 0. Tu vyřešíme
λ1,2 =
1 ±
√
1 + 8
2
=
2,
−1.
Potom y1 = e2x, y2 = e−x, a ze vztahu y = C1 y1 + C2 y2 dostaneme obecné
řešení
y
= C1 e2x + C2 e−x.
b) Charakteristická rovnice je 4λ2 − 4λ + 1 = 0; λ1,2 =
4 ±
√
16 − 16
8
=
1
2
.
Charakteristická rovnice má dvojnásobný kořen, a proto y1 = e
1
2 x
, y2 = xe
1
2 x
.
Obecné řešení této rovnice je
y
= C1 e
1
2 x
+ C2 x e
1
2 x
.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
25
c) Charakteristická rovnice je λ2 + 4 = 0 a má komplexní kořeny λ1,2 = ±2i.
Potom y1 = cos 2x, y2 = sin 2x. Obecné řešení bude
y
= C1 cos 2x + C2 sin 2x.
d) Charakteristická rovnice je λ2 − 4λ + 13 = 0.
Dostaneme zase komplexní kořeny
λ1,2 =
4±
√
16−52
2
= 4±
√
−36
2
= 2 ± 3i.
Z toho
y1 = e2
x
cos 3x,
y2 = e2
x
sin 3x
a obecné řešení je
y
= C1 e2x cos 3x + C2 e2x sin 3x.
Příklad 3.1.2. Najděte řešení Cauchyho úlohy
a
) y′′ − 4y′ = 0, y(0) = 3, y′(0) = 8
b
) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
Řešení:
a) Charakteristická rovnice λ2 − 4λ = 0 má reálné kořeny