BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Lokální maximum (resp. minimum) funkce z = f(x, y) je hodnota z0 = f(x0, y0) v bodě
T
= [x0, y0], jestliže v libovolném bodě nějakého okolí bodu T jsou funkční hodnoty funkce
f
menší (resp. větší) než z0.
Při hledání bodu extrému funkce 2 proměnných postupujeme podobně jako při hledání
extrému funkce jedné proměnné: Najdeme stacionární bod funkce f (bod ve kterém je gra-
dient funkce rovný 0), potom pomocí druhých parciálních derivaci zjistíme, zda v tomto
bodě existuje maximum nebo minimum, ev. že v stacionárním bodě nemá funkce extrém.
Hledání extrému funkce z
= f(x, y) :
1. Spočítáme
∂f
∂x
a
∂f
∂y
a položíme je rovny nule.
2. Najdeme stacionární bod T = [x0, y0], ve kterém
∂f
∂x
(T ) = 0 a zároveň
∂f
∂y
(T ) = 0.
3. Spočítáme
∂2f
∂x2
(T ),
∂2f
∂y2
(T ),
∂2f
∂x∂y
(T ) a z těchto tří derivací vytvoříme jedno číslo:
D
(T ) =
∂2f
∂x2
(T )
∂2f
∂y2
(T ) −
∂2f
∂x∂y
(T )
2
.
4. Podle znaménka D(T ) rozhodneme o existenci extrému v bodě T = [x0, y0].
(a) Pokud D(T ) < 0, funkce nemá v tomto bodě lokální extrém.
(b) Pokud D(T ) > 0, funkce má v bodě T extrém. V tomto případě ještě musíme
rozhodnout, zda jde o maximum nebo minimum:
(i) Je-li
∂2f
∂x2
(T ) > 0, funkce f má v bodě T lokální minimum z0 = f(x0, y0).
(ii) Je-li
∂2f
∂x2
(T ) < 0, funkce f má v bodě T lokální maximum z0 = f(x0, y0).
(c) Pokud D(T ) = 0, nemůžeme na základě této metody rozhodnout o existenci
extrému v bodě T.
Poznámka.
Rovnice
∂f
∂x
(T ) = 0 a
∂f
∂y
(T ) = 0 vlastně tvrdí, že gradf(T ) = 0.
Příklad 1.2.1. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.
Řešení: