BMA2 - Sbírka

ρ

:

∂F

∂x

(T )(x − x0) +

∂F

∂y

(T )(y − y0) +

∂F

∂z

(T )(z − z0) = 0.

Příklad 1.1.1. Najděte definiční obor funkce:

a) f(x, y) =

p4 − x2 − y2

b) f(x, y) = arcsin

x2

+ y2 − 6

3

Řešení:

a) Přirozený definiční obor této funkce tvoří body, pro které platí

4 − x2 − y2 ≥ 0, tedy Df = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4}, což je uzavřený kruh
se středem v počátku a s poloměrem 2.

Grafem funkce je horní polovina kulové plochy x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.

b) Zde musí platit

x2

+ y2 − 6

3

≥ −1 a

x2

+ y2 − 6

3

≤ 1. Po úpravě dostaneme

definiční obor Df = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y2 ≥ 3 a x2 + y2 ≤ 9}, což je
mezikruží ohraničené kružnicemi s poloměry

√

3 a 3 se středem v počátku.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

5

Příklad 1.1.2. Najděte parciální derivaci funkce z =

y

x

+ y

.

Řešení: Nejdříve spočítáme

∂z

∂x

.

Při počítání považujeme y za konstantu a

derivujeme z jako funkci jedné proměnné x.

∂z

∂x

=

0 · (x + y) − 1 · y

(x + y)2

= −

y

(x + y)2

.

Podobně při počítání

∂z
∂y

považujeme x za konstantu a derivujeme z jako

funkci jedné proměnné y.

∂z
∂y

=

1 · (x + y) − y · 1

(x + y)2

=

x

(x + y)2

.

Příklad 1.1.3. Najděte parciální derivace funkce z podle jednotlivých proměnných

a

) z = x2 + y2 − 3xy + 4x + 5y − 7

b

) z = y sin(2x − y)

c

) z = x2 cos(x + 3y)

d

) z = xy, x > 0

e

) z = arccos

y
x

f

) z = arctg

x

+ y

x

− y

g

) z = ln sin (x − 2y)

h

) z = ln (x +

p

x2

+ y2)

Řešení: a) z′

x = 2x

− 3y + 4, z′y = 2y − 3x + 5;

b) z′

x = 2 y cos(2x

− y),