BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z′
y = sin(2x
− y) − y cos(2x − y); c) z′x = 2x cos(x + 3y) − x
2
sin(x + 3y),
z′
y =
−3x
2
sin(x + 3y); d) z′
x = yx
y
−1, z′
y = x
y
ln x;
e) z′
x =
y
x
√
x2
−y2
,
z′
y =
−1
√
x2
−y2
;
f) z′
x =
−y
x2
+y2 , z
′
y =
x
x2
+y2 ;
g) z′
x = cotg (x
− 2y),
z′
y =
−2 cotg (x − 2y); h) z′x =
1
√
x2
+y2
, z′
y =
y
x2
+y2+x
√
x2
+y2
.
Příklad 1.1.4. Dokažte, že funkce z = e
x
y2
vyhovuje rovnici 2x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0.
Řešení:
∂z
∂x
= e
x
y2
1
y2
;
∂z
∂y
= e
x
y2
−2x
y3
.
Dosadíme do rovnice:
2x e
x
y2
1
y2
−
2xy
y3
e
x
y2
= e
x
y2
2x
y2
−
2x
y2
= 0.
6
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 1.1.5. Dokažte, že funkce z = ln(
√
x
+ √y) vyhovuje rovnici x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
=
1
2
.
Příklad 1.1.6. Dokažte, že funkce z = e
x
y
ln y vyhovuje rovnici x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
=
z
ln y
.
Příklad 1.1.7. Dokažte, že funkce z = ln(x2+xy+y2) vyhovuje rovnici x
∂z
∂x
+y
∂z
∂y
= 2.
Příklad 1.1.8. Najděte parciální derivace funkce u podle jednotlivých proměnných
a
) u = x2y2 − yz2 − 4xy + 6xz
b
) u = zex
3 cos(x−y2)
c
) u = esin (z−2xy)
d
) u = arctg (
x
− y
z
)
e
) u = ln
y
√
x2
+ z2
f
) u = 2x3 − y
2w − z2w2 + 5yzw
Řešení: a) u′
x = 2xy
2 − 4y + 6z, u′
y = 2x
2y − z2 − 4x, u′
z =
−2yz + 6x;
b) u′
x = x
2z ex
3 cos(x−y2)[3 cos(x − y2) − x sin(x − y2)], u′
z = e
x3
cos(x−y
2),
u′
y = 2x
3yz
sin(x − y2) ex
3 cos(x−y2);
c) u′
x =
−2y e
sin(z−2xy)
cos(z − 2xy),
u′
y =
−2x e
sin(z−2xy)
cos(z − 2xy), u′
z = e
sin(z−2xy)
cos(z − 2xy);
d) u′
x =
z
x2
+y2+z2−2xy
, u′
y =
−
z
x2
+y2+z2−2xy
, u′
z =
y
−x
x2
+y2+z2−2xy ;
e) u′
x =
−
x
x2
+z2 ,
u′
y =
1
y , u
′
z =
−
z
x2
+z2 ;
f) u′
x = 6x