Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
aP − ~
p |~aP ⊥ + ~aP − ~p >=k ~aP ⊥ k
2 + k ~a
P − ~
p k
2≥k ~a
P ⊥ k
2,
kde jsme vyuˇ
zili kolmost vektor˚
u ~aP ⊥ ⊥ (~aP −~p). Pro volbu ~p := ~aP dostaneme rovnost v pˇredchoz´ı
nerovnosti, tedy se nab´
yv´
a minimum
min{k ~aP ⊥ + ~aP − ~p k
~
p ∈ P } =k ~aP ⊥ k,
proto
ρ(~a, P ) =k ~aP ⊥ k .
V n´
asleduj´ıc´ı vˇ
etˇ
e uvid´ıme, ˇ
ze ´
ulohu hledat vzd´
alenost mezi varietami lze pˇ
rev´
est na pˇ
redchoz´ı
´
ulohu, tedy na hled´
an´ı vzd´
alenosti bodu od podprostoru.
Vˇ
eta 67 (Vzd´
alenost variet). Necht’ jsou d´
any line´
arn´ı variety W1 = ~a1 + Z(W1) a W2 = ~a2 +
Z(W2) v R
n. Pak vzd´alenost variet W1 a W2 je
ρ(W1, W2) = ρ(~a1 − ~a2, Z(W1) + Z(W2)).
D˚
ukaz. ρ(W1, W2) = inf{k ~x −~
y k
~
x ∈ W1, ~
y ∈ W2} = inf{k ~a1 +~s1 −~a2 −~s2 k
~
s1 ∈ Z(W1), ~s2 ∈
Z(W2)} = inf{k ~a1 − ~a2 − ~s k
~
s ∈ Z(W1) + Z(W2)} = ρ(~a1 − ~a2, Z(W1) + Z(W2)).
Pˇ
r´
ıklad 45. Urˇ
cete vzd´
alenost variet W1, W2 ⊂ R
3, kde
W1 =
1
0
0
+ [
1
1
1
]λ
a
W2 =
0
1
0
+ [
1
0
1
]λ.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
ρ(W1, W2) = ρ(
1
0
0
−
0
1
0
, [
1
1
1
,
1
0
1
]λ) = ρ(
1
−1
0
, [
1
1
1
,
1
0
1
]λ).
Snadno najdeme P ⊥ = [
1
1
1
,
1
0
1
]⊥
λ = [
1
0
−1
]λ. Zb´
yv´
a urˇ
cit OG pr˚
umˇ
et ~a =
1
−1
0
do
P ⊥ a spoˇ
c´ıst jeho normu. Hled´
ame γ takov´
e, ˇ
ze
α
1
1
1
+ β
1
0
1
+ γ
1
0
−1
=
1
−1
0
,
dostaneme
−1
1
1
1
+
3
2
1
0
1
+
1
2
1
0
−1
=
1
−1
0
.
Odtud m´
ame ~aP ⊥ =
1
2
1
0
−1
, proto
ρ(W1, W2) =
1
2
k
1
0
−1
k=
√
2
2
.
54
Reference
[1] Emil Humhal, Algebra 2, http://tjn.fjfi.cvut.cz/∼humhal/
[2] Jiˇ
r´ı Pytl´ıˇ
cek, Line´
arn´ı algebra a geometrie, vydavatelstv´ı ˇ
CVUT, Praha, 2005
55