Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

yv´

ame rovina,

• je-li dim W = n − 1, pak W naz´

yv´

ame nadrovina.

Nenulov´

e vektory ze Z(W )⊥ nazveme norm´

alov´

e vektory variety W .

Pozn´

amka 49. V Pˇ

r´ıkladu 41 jsme vyjmenovali vˇ

sechny moˇ

zn´

e posunut´

e podprostory v R

2 a R3.

Podle Vˇ

ety 59 jde o ´

upln´

y v´

yˇ

cet line´

arn´ıch variet v tˇ

echto prostorech.

Vysvˇ

etleme vztah mezi line´

arn´ım a afinn´ım obalem.

Vˇ

eta 60 (Line´

arn´ı obal a afinn´ı obal). Necht’ ~

x1, ~x2, . . . , ~x` ∈ R

n. Pak plat´ı

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α = ~x1 + [~x2 − ~x1, . . . , ~x` − ~x1]λ.

D˚

ukaz. Ukazujeme rovnost dvou mnoˇ

zin, tedy dvˇ

e inkluze.

[ ]α ⊂ ~x1 + [ ]λ: Necht’ ~x ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~x`]α, tj. ~x =

P`

i=1 αi~

xi a

P`

i=1 αi = 1. Pak

~

x = ~

x1 +

`

X

i=2

αi(~xi − ~x1) ∈ ~x1 + [~x2 − ~x1, . . . , ~x` − ~x1]λ.

~

x1 + [ ]λ ⊂ [ ]α: Necht’ ~x ∈ ~x1 + [~x2 − ~x1, . . . , ~x` − ~x1]λ, tj. ~x = ~x1 +

P`

i=2 βi(~

xi − ~x1). Pak plat´ı

~

x = (1 −

`

X

i=2

βi)~x1 +

`

X

i=2

βi~xi,

pˇ

riˇ

cemˇ

z posledn´ı v´

yraz je afinn´ı kombinac´ı souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~x`), protoˇze souˇcet koeficient˚

u u

jednotliv´

ych vektor˚

u v line´

arn´ı kombinaci je (1−

P`

i=2 βi)+

P`

i=2 βi = 1, tedy ~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α.

Nyn´ı uˇ

z m´

ame k dispozici vˇ

se potˇ

rebn´

e, abychom uk´

azali, ˇ

ze kaˇ

zd´

a line´

arn´ı varieta je afinn´ım

obalem nˇ

ejak´

eho souboru vektor˚

u.

49

Vˇ

eta 61 (Varieta je afinn´ı obal). Necht’ W je line´

arn´ı varieta v R

n a dim W = ` − 1. Pak existuj´ı

vektory ~

y1, ~

y2, . . . , ~

y` takov´e, ˇze

W = [~

y1, ~

y2, . . . , ~