Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

azek 10.

Obr´

azek 10: Zelenˇ

e vyznaˇ

cena spojnice bod˚

u ~

x a ~

y v R

2.

Definice 28. Necht’ W ⊂ R

n. W nazveme line´

arn´

ı varietou, pokud

• W 6= ∅,

• W obsahuje s kaˇzd´

ymi dvˇ

ema body i jejich spojnici.

Pˇ

r´

ıklad 33. Line´

arn´ı variety v R

2 jsou body, pˇr´ımky, cel´e R2. Line´arn´ı variety v R3 jsou body,

pˇ

r´ımky, roviny a cel´

e R

3. Za nedlouho uk´aˇzeme, ˇze tento v´yˇcet je ´

upln´

y, tj. ˇ

ze ˇ

z´

adn´

e jin´

e variety

v R

2 a R3 neexistuj´ı.

S pojmem spojnice ´

uzce souvis´ı pojem afinn´ı kombinace.

Definice 29. Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~x`) ∈ R

n. Pak afinn´ı kombinac´ı souboru (~x1, ~x2, . . . , ~x`) na-

zveme line´

arn´ı kombinaci

P`

k=1 αk~

xk, kter´

a splˇ

nuje

P`

k=1 αk

= 1 a αk ∈ R pro kaˇzd´e k ∈

ˆ

`. Mnoˇ

zinu vˇ

sech afinn´ıch kombinac´ı souboru naz´

yv´

ame afinn´

ı obal souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~x`) a

znaˇ

c´ıme [~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α. Plat´ı tedy

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α = {

`

X

k=1

αk~xk

`

X

k=1

αk = 1 a αk ∈ R pro kaˇzd´e k ∈ ˆ

`}.

46

Pˇ

r´

ıklad 34. Pˇ

r´ımo z definice plyne, ˇ

ze afinn´ı obal dvou vektor˚

u je roven jejich spojnici.

Souvislost afinn´ıch obal˚

u a line´

arn´ıch variet je n´

asleduj´ıc´ı.

Vˇ

eta 55 (Afinn´ı obal je varieta). Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~x`) ∈ R

n. Pak W = [~x1, ~x2, . . . , ~x`]α je

line´

arn´ı varieta a W obsahuje ~

x1, ~x2, . . . , ~x`.

D˚

ukaz. Protoˇ

ze ~

xi = 0~x1 + · · · + 1~xi + · · · + 0~x` pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

`, je ~

xi afinn´ı kombinac´ı souboru

(~

x1, ~x2, . . . , ~x`), tedy plat´ı~xi ∈ W . Proto W 6= ∅. Necht’ ~x, ~