Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

apis skal´

arn´ıho souˇ

cinu z Lemmatu 5, ve 2. a pˇ

redposledn´ı rovnosti faktu,

ˇ

ze λ, µ ∈ σ(A) a ~x, ~y k nim pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory. Dost´av´ame tedy (λ − µ) < ~x|~y >= 0,
a jelikoˇ

z λ 6= µ, m´

ame < ~

x|~

y >= 0.

6.2

Vlastnosti unit´

arn´ıch matic

Pˇ

ripomeˇ

nme, ˇ

ze OG matice jsou podmnoˇ

zinou unit´

arn´ıch. Proto tvrzen´ı o unit´

arn´ıch matic´ıch

plat´ı tak´

e pro OG matice.

Vˇ

eta 50 (Vlastnosti unit´

arn´ıch matic). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C.

1. A je unit´arn´ı, pr´avˇe kdyˇz A

−1 = AH.

2. A je unit´arn´ı, pr´avˇe kdyˇz sloupce A tvoˇr´ı ON soubor.

3. Je-li A unit´arn´ı ˇr´adu n, pak pro kaˇzd´e ~x, ~y ∈ C

n plat´ı < A~x|A~y >=< ~x|~y >.

Slovy: “N´

asoben´ı unit´

arn´ı matic´ı zachov´

av´

a skal´

arn´ı souˇ

cin.”

4. Je-li A unit´arn´ı ˇr´adu n, pak pro kaˇzd´e ~x ∈ C

n plat´ı ||A~x|| = ||~x||.

Slovy: “N´

asoben´ı unit´

arn´ı matic´ı zachov´

av´

a normu.”

5. Pro vlastn´ı ˇ

c´ısla λ unit´

arn´ıch matic plat´ı |λ| = 1.

6. Je-li A unit´arn´ı, pak | det A| = 1. Je-li A nav´ıc OG, pak det A = 1 nebo det A = −1.

7. Jsou-li A, B unit´arn´ı matice stejn´eho ˇr´adu. Pak AB je unit´arn´ı matice.

D˚

ukaz.

1. Plyne z definice unit´

arn´ı matice.

2. Tvrzen´ı plyne z faktu: A

H

A = I ⇔ < A•i|A•j >= A

H

•j A•i = δij pro kaˇ

zd´

e i, j ∈ ˆ

n, kde jsme

vyuˇ

zili maticov´

y z´

apis standardn´ıho skal´

arn´ıho souˇ

cinu z Lemmatu 5.

3. < A~x|A~y >= (A~y)

H

A~

x = ~

yH A

H

A~

x = ~

yH ~

x =< ~

x|~

y >.

4. Tvrzen´ı plyne z pˇ

redchoz´ıho bodu dosazen´ım ~

y := ~

x.

5. Je-li ~

x vlastn´ı vektor unit´