Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
√
2
je OG, tedy i unit´
arn´ı a norm´
aln´ı.
•
√
3
2
−1
√
2
i
√
2
√
3i
2
je unit´
arn´ı, tedy i norm´
aln´ı.
Neˇ
z zaˇ
cneme zkoumat vlastnosti speci´
aln´ıch typ˚
u matic, uved’me lemma, kter´
e n´
am umoˇ
zn´ı
pracovat se standardn´ım skal´
arn´ım souˇ
cinem pomoc´ı maticov´
eho n´
asoben´ı.
Lemma 5. Necht’ ~
x, ~
y ∈ C
n. Pak pro jejich standardn´ı skal´arn´ı souˇcin plat´ı
< ~
x, ~
y >= ~
y
H · ~x.
D˚
ukaz. Oznaˇ
cme ~
x =
x1
x2
..
.
xn
, ~
y =
y1
y2
..
.
yn
. Pak
~
y
H · ~x = (y
1, y2, . . . , yn)
x1
x2
..
.
xn
= x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn =< ~x|~
y > .
Uˇ
z v´ıme, ˇ
ze ne kaˇ
zd´
a matice je diagonalizovateln´
a. Ale aspoˇ
n je kaˇ
zd´
a matice podobn´
a horn´ı
troj´
uheln´ıkov´
e matici (bez dk.):
40
Vˇ
eta 46 (Schurova). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Pak existuje unit´arn´ı matice
U ˇ
r´
adu n a H horn´ı troj´
uheln´ıkov´
a matice takov´
e, ˇ
ze A = U
H
HU.
Pozn´
amka 44. Tvrzen´ı Schurovy vˇ
ety z˚
ust´
av´
a v platnosti, nahrad´ıme-li horn´ı troj´
uheln´ıkovou
matici za doln´ı troj´
uheln´ıkovou matici.
Pozn´
amka 45. Jelikoˇ
z unit´
arn´ı matice U splˇ
nuje UU
H = I, je UH = U−1, proto ze Schurovy vˇety
plyne, ˇ
ze kaˇ
zd´
a matice je podobn´
a horn´ı troj´
uheln´ıkov´
e matici.
6.1
Vlastnosti norm´
aln´ıch matic
Abychom byli schopni charakterizovat norm´
aln´ı matice pomoc´ı jejich spektr´
aln´ıch vlastnost´ı,
vyuˇ
zijeme n´
asleduj´ıc´ı lemma.
Lemma 6. Necht’ A je norm´aln´ı horn´ı troj´
uheln´ıkov´
a matice. Pak A je diagon´aln´ı.
D˚
ukaz. V´ıme, ˇ
ze AA
H = AHA, tedy
A11 A12 A13 ... A1n
0
A22 A23 ... A2n
0
0
A33 ... A3n
...
...
... ...
...
0
0
0
... Ann
!
A11
0
0
...
0
A12 A22
0
...
0
A13 A23 A33 ...
0
...
...
...
...
...
A1n A2n A3n ... Ann
=
A11
0
0
...
0
A12 A22
0
...
0
A13 A23 A33 ...