Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

z ~

x 6= ~0, je < ~

x|~

x > > 0 a podle pˇ

redchoz´ıho bodu je < A~x|~x >∈ R, odtud m´ame

λ ∈ R.

4. Tvrzen´ı plyne z pˇ

redchoz´ıho bodu, protoˇ

ze determinant je souˇ

cinem vlastn´ıch ˇ

c´ısel.

6.3.1

A-skal´

arn´

ı souˇ

cin pro hermitovsk´

e matice

Se znalost´ı hermitovsk´

ych matic a jejich vlastnost´ı budeme moci v prostoru C

n zav´est i jin´e skal´arn´ı

souˇ

ciny neˇ

z standardn´ı. Potˇ

rebujeme k tomu jeˇ

stˇ

e jednu definici.

Definice 26. Necht’ A je hermitovsk´a matice ˇr´adu n. Pokud pro kaˇzd´e ~x ∈ C

n, ~x 6= ~0, plat´ı

< A~x|~x > > 0, pak A nazveme pozitivnˇ

e definitn´

ı (PD).

Pozn´

amka 46. V definici PD matice je hermitovskost d˚

uleˇ

zit´

a, protoˇ

ze pouze pro hermitovsk´

e

matice plat´ı, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ C

n je < A~x|~x >∈ R, a tedy um´ıme rozhodnout, zda < A~x|~x >> 0.

(Komplexn´ı nere´

aln´

a ˇ

c´ısla neum´ıme porovn´

avat.)

Vˇ

eta 52 (A-skal´arn´ı souˇcin). Necht’ A je PD matice ˇr´adu n, pak zobrazen´ı, kter´e kaˇzd´e dvojici

vektor˚

u ~

x, ~

y ∈ C

n pˇriˇrad´ı komplexn´ı ˇc´ıslo < A~x, ~y > (kde < .|. > je standardn´ı skal´arn´ı souˇcin)

je skal´

arn´ım souˇ

cinem na prostoru C

n. Naz´yv´ame jej A-skal´arn´ım souˇcinem na Cn a znaˇc´ıme

< .|. >

A.

D˚

ukaz. Ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze zobrazen´ı splˇ

nuje axiomy skal´

arn´ıho souˇ

cinu.

1. hermitovskost: pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ C

n plat´ı < ~x|~y >

A=< A~

x|~

y >=< ~

x|A~y >= < A~y|~x > =

< ~

y|~

x >

A, kde ve 2. rovnosti byla vyuˇ

zita hermitovskost A,

2. linearita v 1. argumentu:

• aditivita: pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y, ~

z ∈ C

n plat´ı < ~x +~z|~y >

A=< A(~

x +~

z)|~

y >=< A~x + A~z|~y >=<