Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

y ∈ W , pak existuj´ı α1, . . . , α`, β1, . . . , β` ∈

R takov´

e, ˇ

ze ~

x =

P`

i=1 αi~

xi a ~

y =

P`

i=1 βi~

xi a

P`

i=1 αi = 1 a

P`

i=1 βi = 1. Pro libovoln´

e α ∈ R

je tˇ

reba uk´

azat, ˇ

ze α~

x + (1 − α)~

y ∈ W .

α~

x + (1 − α)~

y = α

`

X

i=1

αi~xi + (1 − α)

`

X

i=1

βi~xi =

`

X

i=1

(ααi + (1 − α)βi)~xi,

kde posledn´ı v´

yraz je afinn´ı kombinace souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~x`), protoˇze

`

X

i=1

(ααi + (1 − α)βi) = α

`

X

i=1

αi + (1 − α)

`

X

i=1

βi = α + (1 − α) = 1.

T´ım je dok´

az´

ano, ˇ

ze α~

x + (1 − α)~

y ∈ W pro libovoln´

e α ∈ R, tedy spojnice ~x a ~y je z W , tedy W

je line´

arn´ı varieta.

Vˇ

eta 56 (Varieta obsahuje afinn´ı kombinace). Necht’ W je line´

arn´ı varieta. Necht’ ~

x1, ~x2, . . . , ~x` ∈

W . Pak

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α ⊂ W.

Slovy: “Line´

arn´ı varieta obsahuje s kaˇ

zdou `-tic´ı sv´

ych bod˚

u i jejich libovolnou afinn´ı kombinaci.”

D˚

ukaz. Tvrzen´ı dok´

aˇ

zeme indukc´ı podle poˇ

ctu vektor˚

u `. Pro ` = 1 trivi´

alnˇ

e plat´ı. Necht’ pro

nˇ

ejak´

e ` ≥ 1 plat´ı, ˇ

ze W s kaˇ

zdou `-tic´ı sv´

ych vektor˚

u obsahuje i jejich libovolnou afinn´ı kom-

binaci. Uvaˇ

zujme nyn´ı ~

x1, ~x2, . . . , ~x`+1 ∈ W a jejich libovolnou afinn´ı kombinaci

P`+1

i=1 αi~

xi, kde

P`+1

i=1 αi = 1. Urˇ

citˇ

e existuje index i0 ∈ [

` + 1 takov´

y, ˇ

ze αi

0 6= 1. Pak m˚

uˇ

zeme ps´

at

`+1

X

i=1

αi~xi = αi

0 ~

xi

0 + (1 − αi0 )

`

X

i=1,i6=i0

αi

1 − αi

0

~

xi,

kde ~

y =

P`

i=1,i6=i0

αi

1−αi

0

~

xi je afinn´ı kombinace ` vektor˚

u, protoˇ

ze

P`

i=1,i6=i0

αi

1−αi

0

= 1, tedy

~

y ∈ W . D´