Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

a by n´

as mohla v souvislosti se vztahem mezi line´

arn´ımi varietami a

afinn´ımi obaly napadnout, zn´ı: “Je kaˇ

zd´

a line´

arn´ı varieta afinn´ım obalem nˇ

ejak´

eho souboru vek-

tor˚

u?” Odpovˇ

ed’ zn´ı: ANO. Ale mus´ıme nejprve prostudovat vztah mezi varietami a posunut´

ymi

podprostory, abychom odpovˇ

ed’ mohli zd˚

uvodnit.

N´

asleduj´ıc´ı dvˇ

e vˇ

ety vysvˇ

etluj´ı, ˇ

ze variety nepˇ

redstavuj´ı nic zcela nov´

eho, ale jde jen o posunut´

e

podprostory, s kter´

ymi jsme se d˚

uvˇ

ernˇ

e sezn´

amili jiˇ

z v zimn´ım semestru.

Vˇ

eta 58 (Posunut´

y podprostor je varieta). Necht’ P ⊂⊂ R

n a ~a ∈ Rn, pak W = ~a + P je line´arn´ı

varieta.

D˚

ukaz.

• W 6= ∅, protoˇze ~0 ∈ P , tedy ~a + ~0 = ~a ∈ W ,

• je-li ~

x, ~

y ∈ W , pak existuj´ı ~

p1, ~

p2 ∈ P takov´e, ˇze ~x = ~a + ~

p1 a ~

y = ~a + ~

p2, pro libovoln´e α ∈ R

pak plat´ı α~

x + (1 − α)~

y = ~a + α~

p1 + (1 − α)~

p2 ∈ ~a + P .

Pˇ

r´

ıklad 37. Speci´

alnˇ

e je podle pˇ

redchoz´ı vˇ

ety kaˇ

zd´

y podprostor line´

arn´ı varietou.

Pˇ

r´

ıklad 38. Mnoˇ

zina ˇ

reˇ

sen´ı soustavy line´

arn´ıch rovnic je line´

arn´ı varieta. V´ıme z Frobeniovy

vˇ

ety, ˇ

ze m´

a tvar ~a + S0, kde S0 je mnoˇzina ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy, tedy podprostor.

Vˇ

eta 59 (Varieta je posunut´

y podprostor). Necht’ W je line´

arn´ı varieta v R

n, pak existuje pr´avˇe

jeden P ⊂⊂ R

n takov´y, ˇze pro kaˇzd´e ~a ∈ W plat´ı W = ~a + P .

D˚

ukaz. Postup bude m´ıt tˇ

ri kroky.

1. Existence podprostoru:

Berme libovoln´

e ~a ∈ W . Poloˇ

zme P = W − ~a = {~

x − ~a

~

x ∈ W }. Uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze P ⊂⊂ R

n.

(a) P 6= ∅, protoˇ