Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

alov´

ych rovnic. Necht’

W = ~a + [~

s1, ~s2, . . . , ~s`]λ.

1. Smˇ

erovou rovnic´

ı W nazveme

W = ~a + t1~s1 + t2~s2 + · · · + t`~s`.

2. Parametrick´

ymi rovnicemi variety nazveme rovnice, kter´

e vzniknou rozeps´

an´ım smˇ

erov´

e

rovnice po sloˇ

zk´

ach.

3. Necht’ (~

n1, . . . , ~nn−`) je b´

aze Z(W )⊥. Pak norm´

alov´

ymi rovnicemi W nazveme n − `

rovnic z´ıskan´

ych rozeps´

an´ım n´

asleduj´ıc´ıch rovnost´ı pro kaˇ

zd´

e k ∈ [

n − `

< ~

ni|~x >=< ~ni|~a > .

Snadno si rozmysl´ıme, ˇ

ze vektory ~

x ∈ W vyhovuj´ı v´

yˇ

se uveden´

ym rovnic´ım, protoˇ

ze maj´ı

tvar ~a +

P`

i=j tj~

sj a skal´

arn´ı souˇ

cin < ~

n|~

s >= 0 pro kaˇ

zd´

y smˇ

erov´

y vektor ~

s a norm´

alov´

y

vektor ~

n variety W .

4. Z´

apis W pomoc´ı afinn´

ıho obalu je roven

W = [~a, ~a + ~

s1, . . . , ~a + ~s`]α.

Pˇ

r´

ıklad 39. Necht’ W je line´

arn´ı varieta v R

2.

W =

1

1

+ [

1

0

]λ.

50

1. Smˇ

erov´

a rovnice W :

W =

1

1

+ t

1

0

.

2. Parametrick´

e rovnice W :

W ≡

x

=

1 + t

y

=

1

.

3. Norm´

alov´

e rovnice W : najdeme Z(W )⊥ = [

0

1

]λ, pak vektory

x

y

∈ W splˇ

nuj´ı

<

x

y

|

0

1

>=<

1

1

|

0

1

>,

tedy po ´

upravˇ

e dost´

av´

ame norm´

alovou rovnici

y = 1.

4. Podle Vˇ

ety 60 lze zapsat W jako afinn´ı obal

W = [

1

1

,

2

1

]α.

7.2

Konvexn´ı mnoˇ

ziny

K definici konvexn´ı mnoˇ

ziny potˇ

rebujeme pojem ´

useˇ

cka.

Definice 32. Necht’ ~

x, ~

y ∈ R

n. ´

Useˇ

ckou mezi body ~

x a ~

y nazveme mnoˇ

zinu

{α~

x + β~

y

α + β = 1, α, β ≥ 0}.

Pozn´

amka 50. Uved’me ekvivalentn´ı z´

apisy ´

useˇ

cky

{α~

x + β~

y

α + β = 1, α, β ≥ 0} = {α~

x + (1 − α)~

y

α ∈ h0, 1i} = {~

y + α(~

x − ~

y)

α ∈ h0, 1i}.