Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

ale αi

0 ~

xi

0 + (1 − αi0 )~

y je vektor ze spojnice ~

xi

0 a ~

y, tedy z´

avˇ

erem

P`+1

i=1 αi~

xi ∈ W .

Vˇ

eta 57 (Minimalita afinn´ıho obalu). Necht’ ~

x1, ~x2, . . . , ~x` ∈ R

n. Pak [~x1, ~x2, . . . , ~x`]α je nejmenˇs´ı

line´

arn´ı varieta obsahuj´ıc´ı ~

x1, ~x2, . . . , ~x`.

D˚

ukaz. Z Vˇ

ety 56 v´ıme, ˇ

ze kaˇ

zd´

a line´

arn´ı varieta obsahuj´ıc´ı body ~

x1, ~x2, . . . , ~x` obsahuje tak´e

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α. Jelikoˇz z´

aroveˇ

n z Vˇ

ety 55 plyne, ˇ

ze [~

x1, ~x2, . . . , ~x`]α je line´

arn´ı varieta, m´

ame

dok´

az´

ano, ˇ

ze je to nejmenˇ

s´ı line´

arn´ı varieta obsahuj´ıc´ı dan´

e vektory.

Pˇ

r´

ıklad 35. Podle Vˇ

ety 57 je ˇ

reˇ

sen´ım ´

ulohy naj´ıt minim´

aln´ı line´

arn´ı varietu W , kter´

a obsahuje

vektory ~

x, ~

y, ~

z, afinn´ı obal W = [~

x, ~

y, ~

z]α.

Pˇ

r´

ıklad 36. Rozmyslete si, jak vypadaj´ı afinn´ı obaly jednoho, dvou, tˇ

r´ı vektor˚

u v R

2 a R3. Napˇr.

W = [~

x, ~

y, ~

z]α, kde (~x, ~

y, ~

z) je LN soubor, tvoˇ

r´ı rovinu obsahuj´ıc´ı ~

x, ~

y a ~

z.

Vysvˇ

etlen´ı: Jelikoˇ

z jde o line´

arn´ı varietu, mus´ı W obsahovat spojnice ~

x a ~

y, ~

x a ~

z, ~

y a ~

z. D´

ale

mus´ı W tak´

e obsahovat spojnice bod˚

u ze tˇ

r´ı v´

yˇ

se uveden´

ych spojnic. Tedy W obsahuje rovinu, v

n´ıˇ

z leˇ

z´ı troj´

uheln´ık s vrcholy ~

x, ~

y, ~

z, viz obr´

azek 11. Jelikoˇ

z rovina uˇ

z je line´

arn´ı varieta, naˇ

sli jsme

nejmenˇ

s´ı line´

arn´ı varietu obsahuj´ıc´ı ~

x, ~

y, ~

z, tedy jsme naˇ

sli [~

x, ~

y, ~

z]α.

47

Obr´

azek 11: Afinn´ı obal 3 LN vektor˚

u v R

2 je rovina obsahuj´ıc´ı troj´

uheln´ık s vrcholy v dan´

ych

bodech.

Posledn´ı ot´

azka, kter´