Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

arn´ı matice A pˇr´ısluˇsn´y λ, pak

||~

x|| = ||A~x|| = ||λ~x|| = |λ|||~x||,

a protoˇ

ze je ~

x 6= ~0, dost´

av´

ame |λ| = 1.

6. Tvrzen´ı plyne z pˇ

redchoz´ıho bodu, protoˇ

ze determinant je souˇ

cinem vlastn´ıch ˇ

c´ısel. OG

matice m´

a re´

aln´

e prvky, proto i jej´ı determinant je re´

aln´

y, tedy je roven ±1.

7. Unitarita souˇ

cinu plyne z n´

asleduj´ıc´ıch rovnost´ı (AB)(AB)

H = ABBHAH = AAH = I.

Pˇ

r´

ıklad 31. POZOR! OG matice m˚

uˇ

ze m´ıt komplexn´ı vlastn´ı ˇ

c´ısla. Napˇ

r. A =

 −1

√

2

−1

√

2

1

√

2

−1

√

2

je jistˇ

e

OG, nebot’ je re´

aln´

a a sloupce tvoˇ

r´ı ON soubor, ovˇ

sem σ(A) = {

−1−i

√

2

,

−1+i

√

2

}.

43

6.3

Vlastnosti hermitovsk´

ych matic

Pˇ

ripomeˇ

nme, ˇ

ze symetrick´

e matice jsou podmnoˇ

zinou hermitovsk´

ych. Proto tvrzen´ı o hermi-

tovsk´

ych matic´ıch plat´ı tak´

e pro symetrick´

e matice.

Vˇ

eta 51 (Vlastnosti hermitovsk´

ych matic). Necht’ A je hermitovsk´a matice ˇr´adu n s prvky z C.

1. Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ C

n plat´ı < A~x|~y >=< ~x|A~y >.

2. Pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ C

n je < A~x|~x >∈ R.

3. σ(A) ⊂ R.

Slovy: “Hermitovsk´

e matice maj´ı vˇ

sechna vlastn´ı ˇ

c´ısla re´

aln´

a.”

4. det A ∈ R.

D˚

ukaz.

1. Tvrzen´ı plyne z faktu: < A~x|~y >= ~y

H

A~

x = ~

yH A

H ~x = (A~y)H~x =< ~x|A~y >.

2. Dosad´ıme-li do pˇ

redchoz´ıho bodu ~

y := ~

x, dostaneme < A~x|~x >=< ~x|A~x >= < A~x|~x >,

kde posledn´ı rovnost plat´ı podle axiomu skal´

arn´ıho souˇ

cinu. ˇ

C´ıslo, kter´

e je rovno sv´

emu

komplexn´ımu sdruˇ

zen´ı, mus´ı b´

yt re´

aln´

e, tedy < A~x|~x >∈ R.

3. Necht’ ~

x je vlastn´ı vektor A k vlastn´ımu ˇc´ıslu λ, pak λ < ~x|~x >=< λ~x|~x >=< A~x|~x >.

Jelikoˇ