Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

A~

x|~

y > + < A~z|~y >=< ~x|~y >A + < ~z|~y >A, kde staˇcilo, ˇze A je ˇctvercov´a ˇr´adu n,

• homogenita: pro kaˇ

zd´

e α ∈ C, ~x, ~y ∈ C

n plat´ı < α~x|~y >

A=< A(α~

x)|~

y >=< αA~x|~y >=

α < A~x|~y >= α < ~x|~y >A, kde staˇcilo, ˇze A je ˇctvercov´a ˇr´adu n,

44

3. pozitivn´ı definitnost: pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ C

n plat´ı < ~x|~x >

A=< A~

x|~

x > ≥ 0 a < ~

x|~

x >

A=<

A~

x|~

x >= 0, pr´

avˇ

e kdyˇ

z ~

x = ~0, kde je vyuˇ

zita PD matice A.

Pˇ

r´ımo z definice je tˇ

eˇ

zk´

e ovˇ

eˇ

rit, zda je matice PD. Proto uvedeme dvˇ

e ˇ

sikovn´

a krit´

eria k

rozhodov´

an´ı o PD matic.

Vˇ

eta 53 (PD a vlastn´ı ˇ

c´ısla). Necht’ A je hermitovsk´a matice. Pak A je PD, pr´avˇe kdyˇz vˇsechna

jej´ı vlastn´ı ˇ

c´ısla jsou kladn´

a.

D˚

ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Necht’ λ je vlastn´ı ˇ

c´ıslo A s vlastn´ım vektorem ~x. Jelikoˇz ~x 6= ~0, plyne z PD A, ˇze

0 < < A~x|~x >=< λ~x|~x >= λ < ~x|~x > .

Protoˇ

ze < ~

x|~

x > > 0, m´

ame λ > 0.

(⇐) : Jelikoˇ

z A je hermitovsk´a, a proto i norm´aln´ı, ze Schurovy vˇety pro norm´aln´ı matice plyne, ˇze

existuje unit´

arn´ı matice U a diagon´aln´ı matice D tak, ˇze A = UDU

H . Na diagon´ale D leˇz´ı vlastn´ı

ˇ

c´ısla A, kter´a jsou podle pˇredpokladu kladn´a. Necht’ ~x ∈ C

n, ~x 6= ~0, pak

< A~x|~x >= ~x

H (UDUH)~x = (UH~x)HD(UH~x).

Jelikoˇ

z U

H je regul´arn´ı, je UH~x 6= ~0. Oznaˇcme sloˇzky UH~x =

y1

..

.

yn

!

a oznaˇ

cme D =

  λ1 0 ...

0

0

. .

. ... 0

0

0

... λn

!

,

pak

< A~x|~x >= (U

H ~x)HD(UH~x) = λ1|y1|2 + · · · + λn|yn|2 > 0.