Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

ze ~0 = ~a − ~a ∈ P .

(b) Je-li ~

p1, ~

p2 ∈ P , pak existuj´ı ~x, ~

y ∈ W takov´

e, ˇ

ze ~

p1 = ~x − ~a, ~

p2 = ~

y − ~a. Pak

~

p1 + ~

p2 = (~x − ~a + ~

y) − ~a ∈ W − ~a,

kde jsme vyuˇ

zili faktu, ˇ

ze ~

x − ~a + ~

y je afinn´ı kombinace vektor˚

u z variety, coˇ

z je podle

Vˇ

ety 56 opˇ

et vektor z variety.

48

(c) Je-li ~

p ∈ P , pak existuje ~

x ∈ W takov´

y, ˇ

ze ~

p = ~

x − ~a. Pak pro kaˇ

zd´

e α ∈ R m´ame

α~

p = α~

x − α~a = α~

x + (1 − α)~a − ~a ∈ W − ~a,

kde jsme opˇ

et vyuˇ

zili faktu, ˇ

ze α~

x + (1 − α)~a je afinn´ı kombinace vektor˚

u z variety, coˇ

z

je podle Vˇ

ety 56 opˇ

et vektor z variety.

2. Libovoln´

a volba vektoru ~a ∈ W :

Necht’ ~b ∈ W . Podle pˇ

redchoz´ıho bodu existuje ~

p ∈ P takov´

y, ˇ

ze ~b = ~a + ~

p. Odtud m´

ame

~b + P = ~a + ~p + P = ~a + P = W .

3. Jednoznaˇ

cnost podprostoru:

Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze podprostor Q ⊂⊂ R

n splˇ

nuje W = ~a + Q. Z´

aroveˇ

n v´ıme, ˇ

ze W = ~a + P .

Odtud je zˇ

rejm´

e, ˇ

ze Q = P .

Definice 30. Podprostor z pˇ

redchoz´ı vˇ

ety nazveme zamˇ

eˇ

ren´

ı variety W a znaˇ

c´ıme Z(W ). Vektor

~a ve vyj´

adˇ

ren´ı ~a + P = W naz´

yv´

ame vektorem posunut´

ı. Nenulov´

e vektory ze Z(W ) naz´

yv´

ame

smˇ

erov´

e vektory variety W . Dimenz´

ı variety dim W nazveme dim W = dim Z(W ). Na

z´

akladˇ

e dimenze zobecn´ıme v R

n i pro n ≥ 3 pojmy bod, pˇr´ımka, rovina:

• je-li dim W = 0, pak W naz´

yv´

ame bod,

• je-li dim W = 1, pak W naz´

yv´

ame pˇ

r´

ımka,

• je-li dim W = 2, pak W naz´