Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

y`]α.

D˚

ukaz. Z Vˇ

ety 59 plyne, ˇ

ze existuje podprostor Z(W ) dimenze ` − 1 takov´

y, ˇ

ze W = ~a + Z(W ),

kde ~a ∈ W . Bud’ je Z(W ) = {~0}, pak W = [~a]α, nebo existuje b´

aze (~

x1, ~x2, . . . , ~x`−1) podprostoru

Z(W ). Pak je podle Vˇ

ety 60

W = ~a + [~

x1, ~x2, . . . , ~x`−1]λ = [~a, ~a + ~x1, ~a + ~x2, . . . , ~a + ~x`−1]α,

W je tedy afinn´ım obalem ` vektor˚

u.

7.1.1

Vz´

ajemn´

a poloha a pr˚

unik line´

arn´

ıch variet

Definice 31. Necht’ W1, W2 jsou line´

arn´ı variety v R

n. ˇ

R´ık´

ame, ˇ

ze jsou

1. rovnobˇ

eˇ

zn´

e, pokud Z(W1) ⊂ Z(W2) nebo Z(W2) ⊂ Z(W1),

2. mimobˇ

eˇ

zn´

e, pokud nejsou rovnobˇ

eˇ

zn´

e a W1 ∩ W2 = ∅,

3. r˚

uznobˇ

eˇ

zn´

e, pokud nejsou rovnobˇ

eˇ

zn´

e a W1 ∩ W2 6= ∅.

Vˇ

eta 62 (Pr˚

unik variet). Necht’ W1, W2 jsou line´

arn´ı variety v R

n. Pak pr˚

unik W1 ∩ W2 je ∅,

nebo line´

arn´ı varieta.

D˚

ukaz. Pr´

azdn´

y pr˚

unik jistˇ

e variety m´ıt mohou. Napˇ

r´ıklad rovnobˇ

eˇ

zn´

e a r˚

uzn´

e pˇ

r´ımky v prostoru

R

2. Pˇredpokl´adejme, ˇze W1 ∩ W2 6= ∅. Uk´aˇzeme, ˇze pro libovoln´e ~x, ~y ∈ W1 ∩ W2 a pro libovoln´e

α ∈ R, plat´ı α~x + (1 − α)~y ∈ W1 ∩ W2. Jelikoˇz ~x, ~y ∈ W1, je tak´e α~x + (1 − α)~y ∈ W1. Podobnˇe
~

x, ~

y ∈ W2, proto tak´e α~x + (1 − α)~

y ∈ W2. Odtud plyne, ˇze α~x + (1 − α)~

y ∈ W1 ∩ W2.

7.1.2

Popis line´

arn´

ı variety

V pˇ

redchoz´ı ˇ

c´

asti jsme vidˇ

eli, ˇ

ze line´

arn´ı variety lze popsat jako posunut´

e podprostory a jako afinn´ı

obaly. Kromˇ

e tˇ

echto z´

apis˚

u pˇ

redstav´ıme jeˇ

stˇ

e dalˇ

s´ı moˇ

zn´

y z´

apis pomoc´ı norm´