Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

ze konvexn´ı obal dvou vektor˚

u je roven ´

useˇ

cce mezi nimi.

Souvislost konvexn´ıch obal˚

u a konvexn´ıch mnoˇ

zin je n´

asleduj´ıc´ı.

Vˇ

eta 63 (Konvexn´ı obal je konvexn´ı mnoˇ

zina). Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~x`) ∈ R

n. Pak K = [~x1, ~x2, . . . , ~x`]κ

je konvexn´ı mnoˇ

zina a K obsahuje ~

x1, ~x2, . . . , ~x`.

D˚

ukaz. Analogick´

y jako d˚

ukaz Vˇ

ety 55.

Vˇ

eta 64 (Konvexn´ı mnoˇ

zina obsahuje konvexn´ı kombinace). Necht’ K je konvexn´ı mnoˇ

zina. Necht’

~

x1, ~x2, . . . , ~x` ∈ K. Pak

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]κ ⊂ K.

Slovy: “Konvexn´ı mnoˇ

zina obsahuje s kaˇ

zdou `-tic´ı sv´

ych bod˚

u i jejich libovolnou konvexn´ı kombi-

naci.”

52

D˚

ukaz. Analogick´

y jako d˚

ukaz Vˇ

ety 56.

Vˇ

eta 65 (Minimalita konvexn´ıho obalu). Necht’ ~

x1, ~x2, . . . , ~x` ∈ R

n. Pak [~x1, ~x2, . . . , ~x`]κ je

nejmenˇ

s´ı konvexn´ı mnoˇ

zina obsahuj´ıc´ı ~

x1, ~x2, . . . , ~x`.

D˚

ukaz. Z Vˇ

ety 64 v´ıme, ˇ

ze kaˇ

zd´

a konvexn´ı mnoˇ

zina obsahuj´ıc´ı body ~

x1, ~x2, . . . , ~x` obsahuje tak´e

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]κ. Jelikoˇz z´

aroveˇ

n z Vˇ

ety 63 plyne, ˇ

ze [~

x1, ~x2, . . . , ~x`]κ je konvexn´ı mnoˇzina, m´

ame

dok´

az´

ano, ˇ

ze je to nejmenˇ

s´ı konvexn´ı mnoˇ

zina obsahuj´ıc´ı dan´

e vektory.

Pˇ

r´

ıklad 43. Podle Vˇ

ety 65 je ˇ

reˇ

sen´ım ´

ulohy naj´ıt minim´

aln´ı konvexn´ı mnoˇ

zinu K, kter´

a obsahuje

vektory ~

x, ~

y, ~

z, konvexn´ı obal K = [~

x, ~

y, ~

z]κ.

Pˇ

r´

ıklad 44. Rozmyslete si, jak vypadaj´ı konvexn´ı obaly jednoho, dvou, tˇ

r´ı, ˇ

ctyˇ

r, pˇ

eti vektor˚

u v R

2

a R

3. Napˇr. K = [~x, ~y, ~z]κ, kde (~x, ~y, ~z) je LN soubor, tvoˇr´ı troj´uheln´ık obsahuj´ıc´ı ~x, ~y a ~z.