Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

Vysvˇ

etlen´ı: Jelikoˇ

z jde o konvexn´ı mnoˇ

zinu, mus´ı K obsahovat ´

useˇ

cky mezi ~

x a ~

y, ~

x a ~

z, ~

y a

~

z. D´

ale mus´ı K tak´

e obsahovat ´

useˇ

cky mezi body ze tˇ

r´ı v´

yˇ

se uveden´

ych ´

useˇ

cek. Tedy K obsahuje

tro´

uheln´ık s vrcholy ~

x, ~

y, ~

z, viz obr´

azek 14. Jelikoˇ

z troj´

uheln´ık uˇ

z je konvexn´ı mnoˇ

zina, naˇ

sli jsme

nejmenˇ

s´ı konvexn´ı mnoˇ

zinu obsahuj´ıc´ı ~

x, ~

y, ~

z, tedy jsme naˇ

sli [~

x, ~

y, ~

z]κ.

Obr´

azek 14: Konvexn´ı obal 3 LN vektor˚

u v R

2 je troj´

uheln´ık s vrcholy v dan´

ych bodech.

Posledn´ı ot´

azka, kter´

a by n´

as mohla v souvislosti se vztahem mezi konvexn´ımi mnoˇ

zinami

a konvexn´ımi obaly napadnout, zn´ı: “Je kaˇ

zd´

a konvexn´ı mnoˇ

zina konvexn´ım obalem nˇ

ejak´

eho

souboru vektor˚

u?” Odpovˇ

ed’ – na rozd´ıl od line´

arn´ıch variet – zn´ı: NE. Napˇ

r. v R

2, jak si snadno

rozmysl´ıte, jsou konvexn´ı obaly mnoho´

uheln´ıky. Proto kruh jako konvexn´ı obal koneˇ

cnˇ

e mnoha

vektor˚

u nez´ısk´

ame.

7.3

Metrick´

a geometrie

Definice 35. Necht’ M1, M2 ⊂ R

n. Pak vzd´

alenost´

ı mnoˇ

zin M1 a M2 nazveme

ρ(M1, M2) = inf{k~x − ~

yk | ~

x ∈ M1, ~

y ∈ M2}.

Vzd´

alenost bodu ~a od mnoˇ

ziny M znaˇ

c´ıme ρ(~a, M ) m´ısto ρ({~a}, M ).

Pozn´

amka 51. Vzd´

alenost bod˚

u ~

x a ~

y je ρ(~

x, ~

y) = k~

x − ~

yk.

Vˇ

eta 66 (Vzd´

alenost bodu od podprostoru). Necht’ P ⊂⊂ R

n. Pak vzd´alenost bodu ~a od podpro-

storu P je ρ(~a, P ) =k ~aP ⊥ k, kde ~aP ⊥ je OG pr˚

umˇ

et ~a do P ⊥.

53

D˚

ukaz. ρ(~a, P ) = inf{k ~a − ~

p k

~

p ∈ P } = inf{k ~aP ⊥ + ~aP − ~p k

~

p ∈ P }. Plat´ı

k ~aP⊥ + ~aP − ~p k

2=< ~a

P ⊥ + ~