Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

Z posledn´ıho z´

apisu je vidˇ

et, ˇ

ze ´

useˇ

cku mezi body ~

x, ~

y z´ısk´

ame pˇ

riˇ

c´ıt´

an´ım α-n´

asobk˚

u vektoru ~

x−~

y k

vektoru ~

y pro 0 ≤ α ≤ 1. Tedy v R

2 odpov´ıd´a ´

useˇ

cka tomu, co si pod t´ımto pojmem kaˇ

zd´

y pˇ

redstav´ı,

viz obr´

azek 12.

Obr´

azek 12: Zelenˇ

e vyznaˇ

cena ´

useˇ

cka mezi body ~

x a ~

y v R

2.

51

Definice 33. Necht’ K ⊂ R

n. K nazveme konvexn´ı mnoˇ

zinou, pokud

• K 6= ∅,

• K obsahuje s kaˇzd´

ymi dvˇ

ema body i ´

useˇ

cku mezi nimi.

Pˇ

r´

ıklad 40. Kaˇ

zd´

a line´

arn´ı varieta je konvexn´ı mnoˇ

zinou, protoˇ

ze s kaˇ

zd´

ymi dvˇ

ema body obsahuje

´

useˇ

cku mezi nimi. ´

Useˇ

cka je totiˇ

z podmnoˇ

zinou spojnice.

Pˇ

r´

ıklad 41. Konvexn´ı mnoˇ

ziny v R

2 jsou kromˇe variet (bod˚

u, pˇ

r´ımek, cel´

eho R

2) tak´e kruhy,

ˇ

ctverce, obd´

eln´ıky atd. Konvexn´ı mnoˇ

ziny v R

3 jsou kromˇe variet (bod˚

u, pˇ

r´ımek, rovin a cel´

eho

R

3) tak´e koule, krychle, kv´adry atd.

Obr´

azek 13: Hvˇ

ezda nen´ı konvexn´ı mnoˇ

zinou v R

2. Modˇre vyznaˇcena ´

useˇ

cka mezi body hvˇ

ezdy,

kter´

a nen´ı ve hvˇ

ezdˇ

e obsaˇ

zena.

S pojmem ´

useˇ

cka ´

uzce souvis´ı pojem konvexn´ı kombinace.

Definice 34. Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~x`) ∈ R

n. Pak konvexn´ı kombinac´ı souboru (~x1, ~x2, . . . , ~x`)

nazveme line´

arn´ı kombinaci

P`

k=1 αk~

xk, kter´

a splˇ

nuje

P`

k=1 αk = 1 a αk ≥ 0 pro kaˇ

zd´

e k ∈ ˆ

`.

Mnoˇ

zinu vˇ

sech konvexn´ıch kombinac´ı souboru naz´

yv´

ame konvexn´

ı obal souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~x`)

a znaˇ

c´ıme [~

x1, ~x2, . . . , ~x`]κ. Plat´ı tedy

[~

x1, ~x2, . . . , ~x`]κ = {

`

X

k=1

αk~xk

`

X

k=1

αk = 1 a αk ≥ 0 pro kaˇzd´e k ∈ ˆ

`}.

Pˇ

r´

ıklad 42. Pˇ

r´ımo z definice plyne, ˇ