Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

Tedy A je PD.

Bez d˚

ukazu uvedeme jeˇ

stˇ

e dalˇ

s´ı krit´

erium.

Vˇ

eta 54 (Sylvesterovo krit´

erium). Necht’ A je hermitovsk´a matice. Pak A je PD, pr´avˇe kdyˇz

vˇ

sechny jej´ı hlavn´ı subdeterminanty jsou kladn´

e.

Hlavn´ı subdeterminant je det A a d´ale determinanty matic, kter´e vznikaj´ı postupn´ym ukra-

jov´

an´ım posledn´ıho ˇ

r´

adku a sloupce matice.

Pˇ

r´

ıklad 32. A =

1

1

2

3

1

0

4

5

2

4

0

−1

3

5

−1

−2

m´

a hlavn´ı subdeterminanty rovny:

det A, det

 1 1 2

1 0 4

2 4 0

, det ( 1 1

1 0 ) , 1.

Pozn´

amka 47. Je d˚

uleˇ

zit´

e nezapomenout v krit´

eri´ıch ovˇ

eˇ

rit hermitovskost. Napˇ

r. A = (

1 1

0 1 ) m´

a

kladn´

a vlastn´ı ˇ

c´ısla a kladn´

e hlavn´ı subdeterminanty, pˇ

resto nen´ı PD, protoˇ

ze nen´ı symetrick´

a.

45

7

Line´

arn´ı geometrie

V t´

eto kapitole zobecn´ıme poznatky ze stˇ

redn´ı ˇ

skoly t´

ykaj´ıc´ı se analytick´

e geometrie. Uvaˇ

zujeme

eukleidovsk´

y prostor R

n (se standardn´ım skal´arn´ım souˇcinem). Jeho prvky nebudeme naz´yvat

v´

yhradnˇ

e vektory, ale ˇ

castˇ

eji budeme hovoˇ

rit o bodech.

7.1

Line´

arn´ı variety

K definici line´

arn´ı variety potˇ

rebujeme pojem spojnice bod˚

u.

Definice 27. Necht’ ~

x, ~

y ∈ R

n. Spojnic´ı bod˚

u ~

x a ~

y nazveme mnoˇ

zinu

{α~

x + β~

y

α + β = 1, α, β ∈ R}.

Pozn´

amka 48. Uved’me ekvivalentn´ı z´

apisy spojnice

{α~

x + β~

y

α + β = 1, α, β ∈ R} = {α~x + (1 − α)~y

α ∈ R} = {~y + α(~x − ~y)

α ∈ R}.

Z posledn´ıho z´

apisu je vidˇ

et, ˇ

ze spojnici bod˚

u ~

x, ~

y z´ısk´

ame pˇ

riˇ

c´ıt´

an´ım re´

aln´

ych n´

asobk˚

u vektoru

~

x − ~

y k vektoru ~

y. Tedy v R

2 odpov´ıd´a spojnice tomu, co si pod t´ımto pojmem kaˇzd´y pˇredstav´ı –

pˇ

r´ımce proch´

azej´ıc´ı body ~

x a ~

y, viz obr´