Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u.
41
D˚
ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ
e implikace.
(⇒) : Ze Schurovy vˇ
ety pro norm´
aln´ı matice v´ıme, ˇ
ze existuje unit´
arn´ı matice U a diagon´aln´ı
matice D =
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
takov´
e, ˇ
ze A = U
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
U
H . D´ıky unitaritˇe U dostaneme
vyn´
asoben´ım obou stran matic´ı U zprava
AU = U
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
.
Oznaˇ
c´ıme-li sloupce U jako ~u1, . . . , ~un, plyne z definice maticov´eho n´asoben´ı, ˇze A~ui = λi~ui pro
kaˇ
zd´
e i ∈ ˆ
n. Odtud vid´ıme, ˇ
ze sloupce matice U se skl´adaj´ı z vlastn´ıch vektor˚
u A. Ze vztahu
U
H
U = I dost´
av´
ame, ˇ
ze pro kaˇ
zd´
e i, j ∈ ˆ
n splˇ
nuje standardn´ı skal´
arn´ı souˇ
cin < ~
ui|~uj >= δij, tedy
sloupce matice U tvoˇr´ı ON soubor, tedy LN soubor. Suma sum´arum tvoˇr´ı sloupce U hledanou ON
b´
azi C
n z vlastn´ıch vektor˚
u.
(⇐) : Necht’ (~
u1, . . . , ~un) je ON b´
aze C
n z vlastn´ıch vektor˚
u A pˇr´ısluˇsn´ych vlastn´ım ˇc´ısl˚
um
λ1, . . . , λn. Oznaˇcme U matici, jej´ımiˇz sloupci jsou vektory ~u1, . . . , ~un. Pak snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze
AU = U
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
. Z ortonormality souboru ~
u1, . . . , ~un plyne, ˇze U je unit´arn´ı, proto A =
U
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
U
H . Z Vˇety 7 dostaneme AH = U
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
U
H . Snadno pak ovˇeˇr´ıme, ˇze
AA
H = U
|λ1|
2
0
...
0
0
. .
. ...
0
0
0
... |λn|
2
U
H = AHA,
tedy A je norm´aln´ı.
Uved’me jeˇ
stˇ
e nˇ
ekter´
e dalˇ
s´ı typick´
e vlastnosti norm´
aln´ıch matic.
Vˇ
eta 49 (Vlastnosti norm´
aln´ıch matic). Necht’ A je norm´aln´ı matice ˇr´adu n. Pak plat´ı: