Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ych n´
asobnost´ı.
Necht’ ~
x1, ~x2 . . . , ~xν
g (λ)
jsou LN vlastn´ı vektory A pˇr´ısluˇsn´e λ. Pak λ~xi = A~xi = XBX
−1~x
i,
odtud λX
−1~x
i =
BX
−1~x
i, proto
X
−1~x
1,
X
−1~x
2, . . . ,
X
−1~x
νg(λ) jsou vlastn´
ı vektory B pˇr´ısluˇsn´e λ.
D´ıky regularitˇ
e X, tedy i X
−1, je z´ıskan´y soubor vlastn´ıch vektor˚
u B pˇr´ısluˇsn´ych λ LN. Proto
νB
g (λ) ≥ ν
A
g (λ). Jelikoˇ
z B je z´aroveˇ
n podobn´
a A, dostaneme tak´e νA
g (λ) ≥ ν
B
g (λ). T´
ım je dok´
az´
ana
rovnost geometrick´
ych n´
asobnost´ı.
37
Pozn´
amka 41. Implikaci ve Vˇ
etˇ
e 43 nelze obr´
atit. Rozmyslete si sami, ˇ
ze matice
A =
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
a
B =
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
,
maj´ı stejn´
e charakteristick´
e polynomy a maj´ı stejn´
e geometrick´
e n´
asobnosti vlastn´ıch ˇ
c´ısel, pˇ
resto
si nejsou podobn´
e.
Nab´ız´ı se ot´
azka, do jak´
e nejjednoduˇ
sˇ
s´ı podoby lze matici podobnostn´ı transformac´ı pˇ
rev´
est,
tj. jak´
e nejjednoduˇ
sˇ
s´ı matici je dan´
a matice podobn´
a? Speci´
alnˇ
e se pt´
ame, zda je kaˇ
zd´
a ˇ
cvercov´
a
matice podobn´
a diagon´
aln´ı matici? Odpovˇ
ed’ je NE!
Definice 24. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Pak A nazveme diagonalizova-
telnou, pokud je podobn´
a diagon´
aln´ı matici, tj. existuje D diagon´aln´ı a X regul´arn´ı ˇr´adu n tak,
ˇ
ze A = XDX
−1.
Vˇ
eta 44 (Diagonalizovatelnost a b´
aze z vlastn´ıch vektor˚
u). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n
s prvky z C. Pak A je diagonalizovateln´a, pr´avˇe kdyˇz v C
n existuje b´aze z vlastn´ıch vektor˚
u A.
D˚
ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ
e implikace.
(⇒) : Necht’ A = XDX
−1. Uk´aˇzeme, ˇze sloupce matice X tvoˇr´ı hledanou b´azi Cn. Oznaˇcme
~
x1, . . . , ~xn sloupce X a λ1, . . . , λn diagon´aln´ı prvky D. Z regularity X je jasn´e, ˇze soubor (~x1, . . . , ~xn)
je LN. Jelikoˇ