Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

ıho

ˇ

clenu b0 = det A.

Vˇ

eta 38 (Vlastn´ı ˇ

c´ısla a det A). Necht’ λ1, λ2, . . . , λn jsou koˇreny charakteristick´eho polynomu

ˇ

ctvercov´

e matice A ˇr´adu n s prvky z C. Pak det A = λ1λ2 . . . λn.

Slovy: “det A je souˇcinem vlastn´ıch ˇc´ısel A.”

D˚

ukaz. Zn´

ame-li koˇ

reny p

A a koeficient u nejvyˇ

sˇ

s´ı mocniny tn, pak z´ısk´

ame rozklad na koˇ

renov´

e

ˇ

cinitele p

A(t) = (−1)

n(t − λ1)(t − λ2) . . . (t − λn) a z nˇej vid´ıme, ˇze p

A(0) = λ1λ2 . . . λn. Z 3. bodu

Vˇ

ety 37 v´ıme, ˇ

ze p

A(0) = det A. Proto det A = λ1λ2 . . . λn.

D˚

usledek 12 (Vlastn´ı ˇ

c´ısla a regularita matice). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z

C. Matice A je regul´

arn´ı, pr´

avˇ

e kdyˇ

z 0 6∈ σ(A), tj. 0 nen´ı vlastn´ım ˇc´ıslem A.

D˚

ukaz. Jelikoˇ

z je podle Vˇ

ety 38 det A roven souˇcinu vlastn´ıch ˇc´ısel a jelikoˇz A je regul´arn´ı, pr´avˇe

kdyˇ

z det A 6= 0, dost´av´ame tvrzen´ı d˚

usledku.

Vˇ

eta 39 (Vlastn´ı ˇ

c´ısla troj´

uheln´ıkov´

e matice). Necht’ A je horn´ı (doln´ı) troj´

uheln´ıkov´

a matice

ˇ

r´

adu n s prvky z C. Pak vlastn´ı ˇc´ısla jsou rovna diagon´aln´ım prvk˚

um matice.

D˚

ukaz. Pro horn´ı (doln´ı) troj´

uheln´ıkovou matici v´ıme z Vˇ

ety 16 o determinantu troj´

uheln´ıkov´

e

matice, ˇ

ze p

A(t) = det(A − tI) = (A11 − t)(A22 − t) . . . (Ann − t). Odtud jiˇ

z tvrzen´ı plyne.

35

D˚

uleˇ

zitou roli bude hr´

at kromˇ

e geometrick´

e n´

asobnosti vlastn´ıho ˇ

c´ısla jeˇ

stˇ

e dalˇ

s´ı n´

asobnost.

Definice 22. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Necht’ λ ∈ σ(A). Algebraic-
kou n´

asobnost´

ı νa(λ) vlastn´ıho ˇc´ısla λ nazveme n´