Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

cn´ımu procesu a

vˇ

simnˇ

eme si, jak se d´

a vyj´

adˇ

rit konstrukce OG souboru vektor˚

u pomoc´ı pojmu OG pr˚

umˇ

et. Pˇ

ripomeˇ

nme,

ˇ

ze ´

ulohou je konstruovat OG soubor (~

y1, ~

y2, . . . , ~

yn) takov´

y, ˇ

ze [~

x1, ~x2, . . . , ~xk]λ = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk]λ

pro kaˇ

zd´

e k ∈ ˆ

n, kde (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN soubor. Odvodili jsme vzorec pro v´

ypoˇ

cet

~

yk+1 = ~xk+1 −

k

X

i=j

< ~

xk+1|~

yj >

k ~

yj k2

~

yj = ~xk+1 −

k

X

i=j

< ~

xk+1|

1

k ~

yj k

~

yj >

1

k ~

yj k

~

yj,

32

kde (y1, ~

y2, . . . , ~

yk) je OG soubor, tedy (

1

k~

y1k

y1,

1

k~

y2k

~

y2, . . . ,

1

k~

ykk

~

yk) je ON soubor. Tedy pomoc´ı

pojmu OG pr˚

umˇ

et m˚

uˇ

zeme ps´

at ~

yk+1 = ~xk+1 − (~xk+1)P , pˇriˇcemˇz P = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk]λ. Neboli

~

yk+1 z´ısk´

ame tak, ˇ

ze si z ~

xk+1 nech´

ame pouze ˇ

c´

ast, kter´

a je kolm´

a na P , patˇ

r´ı tedy do P ⊥.

33

5

Spektr´

aln´ı teorie matic

T´ımto honosn´

ym n´

azvem mysl´ıme vlastn´ı ˇ

c´ısla, vlastn´ı vektory a diagonalizaci matic.

5.1

Vlastn´ı ˇ

c´ısla a vlastn´ı vektory matic

V cel´

e kapitole uvaˇ

zujeme ˇ

ctvercov´

e matice s komplexn´ımi prvky.

Definice 19. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. ˇ

C´ıslo λ ∈ C nazveme vlastn´ım

ˇ

c´

ıslem A, pokud existuje ~x ∈ C

n, ~x 6= ~0 tak, ˇze A~x = λ~x. Vektor ~x nazveme vlastn´ım vektorem

A pˇ

r´ısluˇ

sn´

ym λ. Mnoˇ

zinu vlastn´ıch ˇ

c´ısel nazveme spektrem A a znaˇc´ıme σ(A).

Pozn´

amka 38. Matice s re´

aln´

ymi prvky nemus´ı m´ıt re´

aln´

a vlastn´ı ˇ

c´ısla. Napˇ

r´ıklad A =

0 −1
1 0

m´

a vlastn´ı ˇ

c´ıslo i s vlastn´ım vektorem ( i

1 ), protoˇ

ze

A (

i

1 ) =

0 −1
1 0

 ( i