Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

ym ˇ

c´ıslem, protoˇ

ze jde o b´

azi, tedy nenulov´

e vektory.

D˚

usledek 10 (Souˇ

radnice v ON b´

azi). Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je ON b´

aze (V, < .|. >). Necht’

~

x ∈ V . Pak i-t´

a souˇ

radnice ~

x v b´

azi X je < ~

x|~

xi >.

D˚

ukaz. Tvrzen´ı plyne z pˇ

redchoz´ı vˇ

ety uˇ

zit´ım faktu, ˇ

ze normy vektor˚

u v ON b´

azi jsou rovny 1.

29

Definice 16. Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je ON b´

aze (V, < .|. >). Pak souˇ

radnice vektor˚

u v b´

azi

X naz´

yv´

ame Fourierovy koeficienty v b´

azi X .

Vˇ

eta 32 (Pythagorova vˇ

eta). Necht’ ~

x, ~

y ∈ (V, < .|. >). Pokud (~

x, ~

y) je OG soubor, pak

k ~

x + ~

y k

2=k ~x k2 + k ~y k2 .

D˚

ukaz. Je-li < ~

x|~

y >= 0, pak k ~

x + ~

y k2=k ~

x k2 + < ~

x|~

y > + < ~

y|~

x > + k ~

y k2=k ~

x k2 + k ~

y k2

.

Pozn´

amka 32. Opaˇ

cn´

a implikace v Pythagorovˇ

e vˇ

etˇ

e plat´ı jen v re´

aln´

ych prostorech! Napˇ

r. v

unit´

arn´ım C

2 splˇ

nuj´ı vektory ~

x = ( i

0 ) a ~

y = ( 1

0 ), ˇ

ze k ~

x + ~

y k2=k ~

x k2 + k ~

y k2, pˇ

resto

< ~

x|~

y >= i 6= 0.

Pozn´

amka 33. Tvrzen´ı je zobecnˇ

en´ım Pythagorovy vˇ

ety, kter´

a ˇ

r´ık´

a, ˇ

ze souˇ

cet obsah˚

u ˇ

ctverc˚

u nad

odvˇ

esnami v pravo´

uhl´

em troj´

uheln´ıku je roven obsahu ˇ

ctverce nad pˇ

reponou, viz obr´

azek 8.

Obr´

azek 8: Souˇ

cet obsah˚

u ˇ

ctverc˚

u nad odvˇ

esnami v pravo´

uhl´

em troj´

uheln´ıku je roven obsahu

ˇ

ctverce nad pˇ

reponou.

Vˇ

eta 33 (Gramova-Schmidtova vˇ

eta). Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN soubor ve (V, < .|. >). Pak

existuje OG (i ON) soubor (~

y1, ~

y2, . . . , ~