Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

• Pro ~

y = ~0 je platnost nerovnosti evidentn´ı. Uvaˇ

zujme ~

y 6= ~0. Pro libovoln´

e α ∈ T plat´ı

0 ≤ < ~

x − α~

y|~

x − α~

y >= k ~

x k

2 − α < ~y|~x > −α < ~x|~y > +|α|2k ~y k2.

Poloˇ

zme α :=

<~

x|~

y>

k~

yk

2

, pak z pˇ

redchoz´ıho vztahu dost´

av´

ame

0 ≤ k ~

x k

2−

< ~

x|~

y >

k ~

y k

2

< ~

y|~

x > −

< ~

y|~

x >

k ~

y k

2

< ~

x|~

y > +

< ~

x|~

y >

k ~

y k

2

2

k ~

y k

2 = k ~x k2−

| < ~

x|~

y > |2

k ~

y k

2

.

Odtud plyne nerovnost | < ~

x|~

y > |2 ≤k ~

x k2k ~

y k2, tedy tak´

e | < ~

x|~

y > | ≤k ~

x kk ~

y k.

• Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Nast´

av´

a-li rovnost ve Schwarz-Cauchovˇ

e nerovnosti, pak z pˇ

redchoz´ı ˇ

c´

asti d˚

ukazu

plyne, ˇ

ze bud’ je ~

y = ~0, nebo je ~

x = α~

y, kde α =

<~

x|~

y>

k~

yk

2

.

(⇐) : Je-li soubor (~

x, ~

y) LZ, pak bud’ ~

x = ~0 a rovnost zˇ

rejmˇ

e plat´ı, nebo je ~

y = β~

x pro

nˇ

ejak´

e β ∈ T . Pak | < ~

x|~

y > | = | < ~

x|β~

x > | = |β| k ~

x k2=k β~

x kk ~

x k=k ~

y kk ~

x k.

Pozn´

amka 25. Podle definice ´

uhlu a Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti m´

ame, ˇ

ze vektory sv´ıraj´ı

nulov´

y nebo pˇ

r´ım´

y ´

uhel, pr´

avˇ

e kdyˇ

z jsou line´

arnˇ

e z´

avisl´

e. To opˇ

et odpov´ıd´

a naˇ

s´ı pˇ

redstavˇ

e z euk-

leidovsk´

eho prostoru R

2 ˇci R3.

Pozn´

amka 26. Pamatujte si, kdy nast´

av´

a rovnost ve Schwarzovˇ

e-Cauchyovˇ

e nerovnosti. Je totiˇ

z

snazˇ

s´ı ovˇ

eˇ

rit, zda jsou dva vektory LZ, neˇ

z poˇ

c´ıtat skal´

arn´ı souˇ

cin a normy.

Vˇ

eta 28 (Troj´

uheln´ıkov´

a nerovnost). Necht’ ~

x, ~

y ∈ (V, < .|. >). Pak