Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

y1, . . . , ~

yk) tak´e LN.

Pozn´

amka 34. M˚

uˇ

zeme si tedy zapamatovat vzorec ~

yk+1 = ~xk+1 =

Pk

i=1

<~

xk+1|~

yi>

k~

yik2

~

yi, pomoc´ı

nˇ

ehoˇ

z lze vyr´

abˇ

et z LN soubor˚

u OG soubory se stejn´

ym line´

arn´ım obalem. Ovˇ

sem na cviˇ

cen´ıch si

uk´

aˇ

zeme metody, kter´

e jsou pro praktick´

y v´

ypoˇ

cet vhodnˇ

ejˇ

s´ı neˇ

z tento vzorec.

D˚

usledek 11 (Existence ON b´

aze). Kaˇ

zd´

y nenulov´

y (V, < .|. >) m´

a ON b´

azi.

D˚

ukaz. Jelikoˇ

z je dim V < +∞ (to pˇ

redpokl´

ad´

ame ve vˇ

sech kapitol´

ach letn´ıho semestru), m´

a V

b´

azi. To je LN soubor a podle Gramovy-Schmidtovy vˇ

ety jej lze ortogonalizovat i ortonormalizovat.

Definice 17. Necht’ P ⊂⊂ (V, < .|. >). Ortogon´

aln´ım doplˇ

nkem P do V nazveme mnoˇ

zinu

P

⊥ = {~x ∈ V 

< ~

x|~

y >= 0 pro kaˇ

zd´

e ~

y ∈ P }.

Vˇ

eta 34 (Vlastnosti OG doplˇ

nku). Necht’ P ⊂⊂ (V, < .|. >). Pak plat´ı:

1. P ⊥ ⊂⊂ V .

2. Pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ V existuje pr´

avˇ

e jeden vektor ~

xP ∈ P a pr´

avˇ

e jeden vektor ~

xP ⊥ ∈ P

⊥ takov´e,

ˇ

ze ~

x = ~

xP + ~xP ⊥, tj. V = P ⊕ P

⊥.

3. (P ⊥)⊥ = P .

D˚

ukaz.

1. Mus´ıme ovˇ

eˇ

rit nepr´

azdnost P ⊥, jeho uzavˇ

renost na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u a na n´

asoben´ı

vektoru ˇ

c´ıslem.

• ~0 ∈ P ⊥, proto P ⊥ 6= ∅.

• Je-li ~

x1, ~x2 ∈ P

⊥, pak pro kaˇzd´e ~y ∈ P plat´ı < ~x

1|~

y >= 0 a < ~

x2|~

y >= 0. Odtud

< ~

x1 + ~x2|~

y >=< ~

x1|~

y > + < ~

x2|~

y >= 0, tedy ~

x1 + ~x2 ∈ P

⊥,

• Je-li α ∈ T a ~

x ∈ P ⊥, pak pro kaˇ

zd´

e ~

y ∈ P plat´ı < ~

x|~

y >= 0. Odtud plyne < α~