Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

et, ˇ

ze vektory z P patˇ

r´ı do (P ⊥)⊥.

(P ⊥)⊥ ⊂ P : Podle jiˇ

z dok´

azan´

eho 2. bodu pro kaˇ

zd´

y ~

x ∈ (P ⊥)⊥ existuje pr´

avˇ

e jeden ~

xP ∈ P

a ~

xP ⊥ ∈ P

⊥ takov´e, ˇze ~x = ~x

P + ~

xP ⊥. Dok´aˇzeme-li, ˇze ~xP ⊥ = ~0, pak bude jasn´e, ˇze ~x ∈ P .

N´

asoben´ım vektorem ~

xP ⊥ dostaneme

< ~

x|~

xP ⊥ >=< ~xP |~xP ⊥ > + < ~xP ⊥|~xP ⊥ > .

Z definice OG doplˇ

nku je zˇ

rejm´

e, ˇ

ze < ~

x|~

xP ⊥ >= 0 a z´aroveˇ

n < ~

xP |~xP ⊥ >= 0, proto

< ~

xP ⊥|~xP ⊥ >= 0, tedy ~xP ⊥ = ~0.

Definice 18. Necht’ P ⊂⊂ V . Je-li ~

x ∈ V zaps´

ano jako ~

x = ~

xP + ~xP ⊥, kde ~xP ∈ P a ~xP ⊥ ∈ P

⊥,

pak vektor ~

xP se naz´

yv´

a ortogon´

aln´

ı (OG) pr˚

umˇ

et ~

x do P .

Pozn´

amka 35. V d˚

ukazu 2. bodu Vˇ

ety 34 je uvedeno, jak lze OG pr˚

umˇ

et ~

x do P konstruovat,

zn´

ame-li v P ON b´

azi (~

x1, ~x2, . . . , ~xk). Plat´ı

~

xP =

k

X

j=1

< ~

x|~

xj > ~xj.

(2)

Ovˇ

sem stejnˇ

e jako u Gramova-Schmidtova ortogonalizaˇ

cn´ıho procesu i tady plat´ı, ˇ

ze v´

yhodnˇ

ejˇ

s´ı

bude konstruovat v praktick´

ych pˇ

r´ıkladech OG pr˚

umˇ

ety jin´

ymi zp˚

usoby. To se nauˇ

c´ıme na cviˇ

cen´ıch.

Pozn´

amka 36. V eukleidovsk´

em prostoru R

2 odpov´ıd´a pr˚

umˇ

et vektoru naˇ

s´ı pˇ

redstavˇ

e kolm´

eho

prom´ıt´

an´ı. Napˇ

r. pro podprostor P = [~

e1]λ, tedy pˇr´ımku odpov´ıdaj´ıc´ı ose x, je OG pr˚

umˇ

et vektoru

~

x = (

x1

x2 ) podle vzorce (2) roven ~

xP =< ~x|~e1 > ~e1 = x1~e1, viz obr´

azek 9.

Obr´

azek 9: Ortogon´

aln´ı pr˚

umˇ

et vektoru na pˇ

r´ımku.

Pozn´

amka 37. Vrat’me se jeˇ

stˇ

e jednou ke Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaˇ