Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

yn) takov´

y, ˇ

ze [~

x1, ~x2, . . . , ~xk]λ = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk]λ pro kaˇzd´e

k ∈ ˆ

n.

Slovy: “Kaˇ

zd´

y LN soubor lze ortogonalizovat (i ortonormalizovat).”

D˚

ukaz. Pomoc´ı tzv. Gramova-Schmidtova ortogonailzaˇ

cn´ıho procesu vyrob´ıme OG soubor splˇ

nuj´ıc´ı

podm´ınky vˇ

ety. Na z´

avˇ

er kaˇ

zd´

y z vektor˚

u vyn´

asob´ıme pˇ

revr´

acenou hodnotou jeho normy, ˇ

c´ımˇ

z

podle Pozn´

amky 30 vyrob´ıme ON soubor splˇ

nuj´ıc´ı podm´ınky z vˇ

ety.

Postupujme indukc´ı podle poˇ

ctu vektor˚

u v OG souboru. Poloˇ

zme ~

y1 = ~x1. Pak je splnˇeno

[~

x1]λ = [~

y1]λ a (~

y1) je jistˇe OG. Necht’ je zkonstruov´

an OG soubor (~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk) splˇ

nuj´ıc´ı

[~

x1, ~x2, . . . , ~xk]λ = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk]λ pro nˇejak´e 1 ≤ k < n. Dalˇs´ı vektor hled´

ame ve tvaru

~

yk+1 = ~xk+1 −

k

X

i=1

αi~

yi.

Pˇ

ri takov´

em pˇ

redpisu bude zˇ

rejmˇ

e platit, ˇ

ze [~

x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1]λ = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk, ~

yk+1]λ. Zb´

yv´

a

tedy naj´ıt koeficienty α1, . . . , αk tak, aby (~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk, ~

yk+1) byl OG. Koeficienty najdeme z

30

podm´ınek < ~

yk+1|~

yj >= 0 pro kaˇzd´e j ∈ ˆ

k. Dost´

av´

ame

< ~

yk+1|~

yj >= 0 =< ~xk+1−

k

X

i=1

αi~

yi|~

yj >=< ~xk+1|~

yj > −

k

X

i=1

αi < ~

yi|~

yj >=< ~xk+1|~

yj > −αj < ~

yj|~

yj >,

kde jsme vyuˇ

zili linearity skal´

arn´ıho souˇ

cinu v 1. argumentu a ortogonality souboru (~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk).

Koeficenty αj jsme naˇsli, maj´ı tvar αj =

<~

xk+1|~

yj >

k~

yj k2

. Dˇ

el´ıme jistˇ

e nenulov´

ym ˇ

c´ıslem, nebot’ d´ıky

rovnosti [~

x1, ~x2, . . . , ~xk]λ = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yk]λ a LN (~x1, . . . , ~xk) je soubor (~