Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

k ~

x + ~

y k≤k ~

x k + k ~

y k .

Rovnost nast´

av´

a, pr´

avˇ

e kdyˇ

z existuje α ≥ 0 tak, ˇ

ze ~

x = α~

y nebo ~

y = α~

x.

D˚

ukaz. Nejprve ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze plat´ı nerovnost. Pot´

e se pod´ıv´

ame, kdy nast´

av´

a rovnost.

•

k ~

x + ~

y k2

=

k ~

x k2 + k ~

y k2 + < ~

x|~

y > + < ~

y|~

x >

=

k ~

x k2 + k ~

y k2 + < ~

x|~

y > +< ~

x|~

y >

=

k ~

x k2 + k ~

y k2 +2Re< ~

x|~

y >

≤

k ~

x k2 + k ~

y k2 +2| < ~

x|~

y > |

≤

k ~

x k2 + k ~

y k2 +2 k ~

x kk ~

y k

=

(k ~

x k + k ~

y k)2

,

kde pˇ

redposledn´ı nerovnost je Schwarzova-Cauchyova.

27

• Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Nast´

av´

a-li rovnost v troj´

uheln´ıkov´

e nerovnosti, pak z pˇ

redchoz´ı ˇ

c´

asti d˚

ukazu plyne, ˇ

ze

nast´

av´

a rovnost ve Schwarzovˇ

e-Cauchyovˇ

e nerovnosti, tedy ~

x = ~0 (tedy ~

x = 0~

y, neboli ~

x je

nez´

aporn´

y n´

asobek ~

y) nebo ~

x 6= ~0 a ~

y = β~

x pro nˇ

ejak´

e β ∈ T . D´

ale z pˇ

redchoz´ı ˇ

c´

asti d˚

ukazu

plyne, ˇ

ze plat´ı Re< ~

x|~

y > = | < ~

x|~

y > |, odkud m´

ame Re< ~

x|β~

x > = | < ~

x|β~

x > |, tedy

Reβ = |β|, proto β ∈ R a β ≥ 0.
(⇐) : Plat´ı-li ~

y = α~

x pro nˇ

ejak´

e α ≥ 0, pak k ~

x + ~

y k=k ~

x + α~

x k=k (1 + α)~

x k= (1 + α) k

~

x k=k ~

x k +α k ~

x k=k ~

x k + k α~

x k=k ~

x k + k ~

y k. Podobnˇ

e dostaneme, ˇ

ze rovnost plat´ı,

je-li ~

x = α~

y pro nˇ

ejak´

e α ≥ 0.

Pozn´

amka 27. Troj´

uheln´ıkov´

a nerovnost je zobecnˇ

en´ım zn´

am´

eho faktu, ˇ

ze v troj´

uheln´ıku je souˇ

cet

d´

elek dvou stran vˇ