Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

asleduj´ıc´ı soustava LAR mˇ

ela pr´

avˇ

e jedno ˇ

reˇ

sen´ı, a k nalezen´ı

tohoto ˇ

reˇ

sen´ı.

x

+

ay

+

a2z

=

a3

x

+

by

+

b2z

=

b3

x

+

cy

+

c2z

=

c3

.

23

4

Skal´

arn´ı souˇ

cin a ortogonalita

4.1

Skal´

arn´ı souˇ

cin

Ve vektorov´

em prostoru V nad tˇ

elesem T (T = C nebo T = R) m´ame zat´ım zavedeny operace:

• sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u

⊕ : V × V → V, kdy vektor˚

um ~

x a ~

y pˇ

riˇ

rad´ıme vektor ~

x ⊕ ~

y,

• n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem z T

 : T × V → V, kdy ˇ

c´ıslu α a vektoru ~

x pˇ

riˇ

rad´ıme vektor α  ~

x.

Nyn´ı zavedeme novou operaci:

< .|. >: V × V → T, kdy vektor˚

um ~

x a ~

y pˇ

riˇ

rad´ıme ˇ

c´ıslo < ~

x|~

y > .

Definice 12. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . Zobrazen´ı < .|. >: V × V → T , kter´

e

uspoˇ

r´

adan´

e dvojici vektor˚

u ~

x, ~

y ∈ V pˇ

riˇ

rad´ı ˇ

c´ıslo < ~

x|~

y >∈ T , nazveme skal´

arn´

ı souˇ

cin, pokud

jsou splnˇ

eny 3 axiomy skal´

arn´

ıho souˇ

cinu:

1. hermitovskost: pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ V plat´ı < ~

x|~

y >= < ~

y|~

x >,

2. linearita v 1. argumentu: pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y, ~

z a kaˇ

zd´

e α ∈ T plat´ı

• aditivita v 1. argumentu: < ~

x + ~

z|~

y >=< ~

x|~

y > + < ~

z|~

y >,

• homogenita v 1. argumentu: < α~

x|~

y >= α < ~

x|~

y >,

3. pozitivn´

ı definitnost: pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ V plat´ı < ~

x|~

x >≥ 0 a < ~

x|~

x >= 0, pr´

avˇ

e kdyˇ

z ~

x = ~0.

Vektorov´

y prostor V nad tˇ

elesem T se skal´

arn´ım souˇ

cinem < .|. > znaˇ

c´ıme (V, < .|. >).

Vˇ

eta 25 (Vlastnosti skal´

arn´ıho souˇ

cinu). Necht’ d´

an (V, < .|. >). Pak

1. pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ V plat´ı < ~0|~