Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
T , pak det(AB) = det A det B.
D˚
ukaz. Rozdˇ
el´ıme d˚
ukaz na dva pˇ
r´ıpady. Oznaˇ
cme n ˇ
r´
ad matic A a B.
1. Je-li A singul´arn´ı, pak podle Vˇety 6 o hodnosti souˇcinu matic m´ame
h(AB) ≤ h(A) < n.
Proto AB je singul´arn´ı. Na z´akladˇe Vˇety 19 m´ame det (AB) = 0 = det A det B.
2. Je-li A regul´arn´ı, pak A
−1 je tak´e regul´arn´ı, a lze ji tedy pˇrev´est E ˇ
R ´
U na I, tj. existuje
matice T vznikl´a E ˇ
R ´
U z I takov´a, ˇze I = TA
−1. Odtud vid´ıme, ˇze A = T a podle Vˇety 18
plat´ı det(AB) = det A det B.
Pˇ
r´
ıklad 15. Necht’
A =
1
0
1
1
,
B =
1
−2
2
1
.
Pak AB =
1
−2
3
−1
a plat´ı 5 = det(AB) = det A det B = 1 · 5.
Vˇ
eta 21 (Determinant inverzn´ı matice). Necht’ A je regul´arn´ı matice s prvky z tˇelesa T , pak
det A
−1 = 1
det A
.
19
D˚
ukaz. Jelikoˇ
z AA
−1 = I, dost´av´ame podle Vˇety 20 o determinantu souˇcinu matic
det A det A
−1 = det I = 1,
odkud jiˇ
z tvrzen´ı plyne.
Pˇ
r´
ıklad 16. Necht’
A =
1
−1
0
0
2
0
0
1
−1
.
Pak det A =
1
−1
0
0
2
0
0
1
−1
= 2
1
−1
0
0
1
0
0
1
−1
= 2
1
−1
0
0
1
0
0
0
−1
= −2.
Najdˇ
ete A
−1 ´uplnou Gaussovou eliminac´ı a ovˇeˇrte, ˇze det A−1 = −1
2 .
Pˇ
r´
ıklad 17. Geometrick´
y v´
yznam determinantu - l´
epe p˚
ujde ovˇ
eˇ
rit, aˇ
z budeme zn´
at skal´
arn´ı
souˇ
cin.
1. Necht’ je d´
an troj´
uheln´ık v R
2 s vrcholy
a1
a2
,
b1
b2
a
c1
c2
. Pak pro jeho obsah plat´ı
S =
1
2
det
1
a1
a2
1
b1
b2
1
c1
c2
.
2. Necht’ je d´
an rovnobˇ
eˇ
z´ık v R
2 s vrcholy
0
0
,
a1
a2
,
b1
b2
. Pak pro jeho obsah plat´ı
S =
det
a1 a2
b1
b2
.
3. Necht’ je d´
an rovnobˇ
eˇ
znostˇ
en s vrcholy
a1
a2
a3
,
b1
b2
b3
a
c1
c2
c3
. Pak pro jeho objem plat´ı
V =
det
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
.
Obr´
azek 3: Rovnobˇ